Matriz inversa - ¿Por qué se derivan de la forma en que son?

Question

Tengan en cuenta que no se trata de una cuestión de cómo, sino de por qué. Conozco su mecánica, pero es lo primero que he encontrado que realmente parece magia, más que un riguroso proceso matemático.

Hay preguntas en el SE sobre las pruebas de lo contrario, pero ni aquí ni en ningún otro lugar de Internet, puedo encontrar una explicación decente de por qué funciona de la manera en que lo hace:

Así que, básicamente, supongamos que la matriz es $ \begin {bmatrix} a && b \\ c && d \end {bmatrix}$

¿Por qué intercambiamos valores $a$ y $d$ ?

¿Por qué $c$ y $b$ se convierten en negativos?.

¿Por qué nos dividimos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ por $ad-bc$ ?

Una vez más, esto parece verdaderamente mágico. Es como "oye, intercambia estos dedos, gira estos signos un poco, y puf, ¡estás al revés!".

Gracias de antemano por cualquier ayuda :)

Answer 1

En primer lugar, puedes comprobar que \begin {ecuación} \frac {1}{ad - bc} \begin d & -b \\ -c y a \end {bmatrix} \begin a y b \\ c y d \end {bmatrix} = \begin 1 y 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix}, \end {ecuación} lo que confirma que la matriz de la izquierda es la inversa de $ \begin {bmatrix} a & b \\ c & d \end {bmatrix} $ (cuando $ad - bc \neq 0$ ). La única pregunta es cómo descubrirías esta fórmula para el inverso.

Podrías descubrir esta fórmula con sólo adivinar. Si intentas la forma más simple de poner ceros en las posiciones correctas, estarás en el camino correcto. Otra forma de descubrirlo podría ser resolver el sistema \begin {ecuación} \begin a y b \\ c y d \end {bmatrix} \begin X e Y \\ z y w \end {bmatrix} = \begin 1 y 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix} \end {ecuación} para los desconocidos $x,y,z,w$ . Tenemos cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas y podrías resolverlo a mano.

Answer 2

Se puede derivar mediante la transformación simultánea $(A|I) \to (I|A^{-1})$ . Si $a \ne 0$ y $ad-bc \ne 0$ que tenemos: $$ \left [ \begin {array}{rr|rr} a & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1 \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & b/a & 1/a & 0 \\ c & d & 0 & 1 \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & b/a & 1/a & 0 \\ 0 & d - cb/a & -c/a & 1 \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & b/a & 1/a & 0 \\ 0 & (ad - bc)/a & -c/a & 1 \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & b/a & 1/a & 0 \\ 0 & 1 & -c/(ad-bc) & a/(ad-bc) \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & 0 & 1/a + bc/a(ad-bc) & -b/(ad-bc) \\ 0 & 1 & -c/(ad-bc) & a/(ad-bc) \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & 0 & ((ad-bc)+bc)/a(ad-bc) & -b/(ad-bc) \\ 0 & 1 & -c/(ad-bc) & a/(ad-bc) \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & 0 & d/(ad-bc) & -b/(ad-bc) \\ 0 & 1 & -c/(ad-bc) & a/(ad-bc) \end {array} \right ] $$ Si $a = 0$ y $ad - bc \ne 0$ tenemos $b \ne 0$ y $c \ne 0$ y va así: $$ \left [ \begin {array}{rr|rr} 0 & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1 \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} c & d & 0 & 1 \\ 0 & b & 1 & 0 \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & d/c & 0 & 1/c \\ 0 & 1 & 1/b & 0 \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & 0 & -d/cb & 1/c \\ 0 & 1 & 1/b & 0 \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & 0 & d/(-bc) & -b/(-bc) \\ 0 & 1 & -c/(-bc) & 0/(-bc) \end {array} \right ] \to \left [ \begin {array}{rr|rr} 1 & 0 & d/(ad-bc) & -b/(ad-bc) \\ 0 & 1 & -c/(ad-bc) & 0/(ad-bc) \end {array} \right ] $$

Answer 3

El método del que hablas es encontrar el inverso de una matriz A mediante el cálculo de la matriz adjunta:

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix

Esta técnica es muy ineficiente en la práctica para la matriz "grande" (4x4 o más grande), por lo que es más una herramienta teórica. En la práctica, es mejor utilizar la eliminación gaussiana :

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination#Finding_the_inverse_of_a_matrix

Answer 4

Dado que la única cosa que conoces $A$ es que $D:=a d-b c \ne 0$ y quieres encontrar $a',b',c',d'$ de tal manera que (entre otros) $aa'+bc'=1$ intentando $a'= \frac dD$ y $c'=- \frac cD$ podría parecer bastante natural...