La convergencia de la secuencia de $(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\cdots(1+\frac{n}{n})$

Question

Tengo una secuencia $(a_n)$ donde para cada número natural $n$, $$a_n = (1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\cdots(1+\frac{n}{n})$$ and I want to find its limit as $n\to\infty$.

Yo, obviamente, no podía probar que y después de varios intentos fallidos decidí a publicar aquí.

Aquí está una lista de algunas observaciones que tengo de esos intentos:

1. La secuencia de $(a_n)$ es estrictamente creciente de la secuencia. Para probar esto, he reescrito cada elemento como $$a_n = (1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\cdots(1+\frac{n}{n})= \frac{(n+1)\cdots(n+n)}{n^n}= \frac{(2n)!}{n!n^n}.$$ Entonces $$\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{2(n+1)!}{(n+1)!(n+1)^{n+1}}\frac{n!n^n}{(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2(1+\frac{1}{n})^n} \to \frac{4}{e}$$ as $n\to\infty$. Since $\frac{4}{e}>1$ we have $a_{n+1}>a_n$ eventualmente.

2. El límite de esta sucesión es acotada abajo por $e$. Mediante la sustitución de $1,2, \ldots, n$ $1$ en la expresión de $a_n$, obtenemos $a_n \geq (1+\frac{1}{n})^n$. Y por lo tanto $\lim{(a_n)}\geq e$.

3. $\lim{(a_n)}\geq e^2$ $\lim{(a_n)}\geq e^3$ . La primera afirmación se deduce del hecho de que $$a_n\geq(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})^{n-1}= \frac{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})^{n}}{(1+\frac{2}{n})} \to e^2.$$ And the last one follows the same way because $$a_n\geq (1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})(1+\frac{3}{n})^{n-2}.$$

Ahora tengo la corazonada de que para cualquier número natural $k$, se puede demostrar que para todos lo suficientemente grande número natural $n$, $$a_n\geq (1+\frac{1}{n})\cdots(1+\frac{k-1}{n})(1+\frac{k}{n})^{n-(k-1)}.$$ And therefore for all $k \in \mathbb{N}$, $\lim{(a_n)}\geq e^k$ haciendo la secuencia divergentes. Pero realmente no estoy seguro acerca de este enfoque y yo te agradecemos cualquier ayuda para este fin. Gracias.

[Nota: esta secuencia es bastante común, puede haber otros puestos en matemáticas.SE haciendo la misma pregunta. Yo no la búsqueda de ellos, porque yo no sé cómo buscar una expresión así de grande. A pesar de que un enlace relacionado con cualquier pregunta anterior sobre este particular de la secuencia que va a ser lo suficientemente bueno, yo te agradeceria mucho si alguien se toma la molestia de mirar en mi enfoque/observaciones y señalar dónde voy mal.]

Answer 1

Lo siento, lectura errónea de la pregunta. $a_n>(1.5)^\frac{n}{2}$ , Por lo que diverge. Usted podría también utilizar Stirling en el factorial.

Answer 2

Sugerencia: Deje $n=100$. A continuación, la mitad de los términos se $\ge 1.5$.

Answer 3

Si se multiplica y tirar la mayoría de los términos, se termina con $$a_n > \frac1n+\frac2n+\frac3n+\cdots+\frac nn=\frac1n\sum_{k=1}^n k=\frac{n+1}2\to\infty$$ como $n\to\infty$.

Answer 4

Buen trabajo, ¿por qué no hacer un último paso? Como se observa, $a_n$ es monótona y $\lim a_n \geq \mathrm e^k$ cualquier $k$, lo que es más que suficiente para concluir que $\lim a_n= \infty$.

Answer 5

Deje $a_n$ ser una secuencia de números positivos. Entonces, si $\prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n)$ converge/diverge, entonces
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge/diverge (y lo contrario también es cierto).

La hermana.