Cuando es la "Inercia" Insignificante?

Question

He empezado a leer Strogatz de la Dinámica no Lineal y Caos y me he encontrado con un interesante bits. Él ciertos estados de amortiguamiento de los osciladores pueden ser modelados como no tener inercia plazo, I. E.

$$m \ddot{x} + b \dot{x} = F(x)$$

Pero si $m \ddot{x}\approx 0$ (él llama a esto la "Inercia Plazo"), Entonces es igual de válido para escribir

$$b \dot{x} = F(x)$$

Para mí, esto implica que la velocidad puede variar dependiendo de la coordenada espacial. Sin embargo, me acaba de decir un segundo hace que la aceleración o la masa es insignificante. Así que no debería velocidad sea constante?

Creo que lo que realmente está sucediendo es que mientras que un cambio temporal en la velocidad no está permitido, espaciales, uno todavía puede existir. De todos modos, esto todavía es un poco extraño para mí, así que ¿alguien sabe de buenas fuentes sobre temas o momentos en los que esta aproximación es válida?

La ecuación que aparece en la página 29, sobre la imposibilidad de las oscilaciones de primer orden ecuaciones diferenciales ordinarias.

ACTUALIZACIÓN:

Después de hacer un poco de reflexión y análisis dimensional, tengo algo más para agregar. $m$ tiene dimensiones de [masa], mientras que $b$ tiene dimensiones de $\frac{[mass]}{[time]}$. ¿Significa esto que una viables situación cuando esta aproximación tiene es para algunas pequeñas escalas de tiempo (cómo las pequeñas y corresponde a lo que, no sé). Por si algún tiempo correspondiente a $b$ es pequeño, entonces la $b$ es grande, y quizá $m \ddot{x}$ puede ser descuidado? Se puede verificar esto?

Answer 1

Como habrán notado no basta con resolver la ecuación mediante el establecimiento $m$ a cero, esto es debido a que el término con el pequeño parámetro es el único que contiene el más alto orden de la derivada. En particular, el problema de Cauchy para el sistema contiene las condiciones iniciales ambas, por ejemplo, $x(0)$$\dot{x}(0)$. Desde el punto de vista matemático, este sistema es un ejemplo de una de perturbaciones singulares.

Hay un montón de métodos para el análisis de los sistemas tales como el método de igualada expansiones asintóticas. Página de la Wikipedia, ya que contiene un ejemplo muy similar al problema de la cuestión.

Siguiendo este ejemplo, se aplica este método aquí y construir dos soluciones aproximadas (utilizando la notación de la pregunta):

• exterior de la solución, la cual es válida para los fines de los tiempos en el orden de $t=O(b \cdot l / F)$ (donde $l$ es la variación típica de $x$ $F$ es el valor típico de por $F(x)$) para las cuales el consejo aproximada de la ecuación es $$b\, \dot{x} = F(x)$$. Este es el 1er fin de la educación a distancia, por lo que la solución tendrá una constante de integración.

• interior de la solución, válida para pequeños tiempos de $t=O(m/b)$. Para ello podemos reescribir el problema con reescalado tiempo $\tau = b \cdot t/m $. El aproximadas de la ecuación de se $$\partial_\tau^2 x(\tau) + \partial_\tau x(\tau) =0$$. Este es el segundo fin de la educación a distancia, y mucho más simple que en el sistema original.

A continuación, hemos partido de soluciones en la región de superposición, donde ambas aproximaciones son válidas. Formalmente esta región corresponde a doble límite: $$\lim_{\tau \to \infty} x(\tau) = \lim _{t \to 0} x (t).$$ A partir de esta ecuación que expresa una de las constantes a través de los otros dos y obtener una solución compuesta por la totalidad del dominio.

Answer 2

Strogatz hace un buen trabajo de explicar en la página 66 a 69 del libro que se hace referencia.

Escribir ir como una de primer orden autónomas ecuación: \begin{align} \dot x &= y \\ \dot y &= \frac1m(F(x) - by) \end{align} Si $by$ es mucho más grande de lo $F(x)$, $\dot y$ es muy grande en la dirección negativa. Por lo tanto y disminuye rápidamente. Del mismo modo, si $by$ es mucho menor que $F(x)$. Así que después de un corto período de tiempo, $F(x) - by$ es de orden $m$, que es muy pequeño. $\dot y$ es de tamaño razonable, número, así que no hay ninguna restricción sobre cómo de rápido se $y$ puede mover. Y sustituyendo en la primera ecuación en todo esto, tenemos que $$ b \dot x = F(x) + O(m) .$$ Por cierto, yo solo di un vistazo a esas páginas, así que mi argumento no podría hacer justicia a Stragatz explicación.

Answer 3

He aquí un "mathsy" explicación, pero con una base física:

No conozco el libro al que te refieres, pero, en general, uno puede encontrar que los términos de una ecuación son dominantes en determinadas condiciones, a través de análisis dimensional. En primer lugar, imaginemos que hay una característica ("distinción") de las escalas que describen la amplitud, periodo, etc. de su sistema de modo que podemos escribir $x = \chi\hat{x}$, $t = \tau\hat{t}$ y $F=\mathcal{F}\hat{F}$, en un "sombrero" denota una variable adimensional. Entonces podemos reescribir la ecuación como

\begin{align} m \ddot{x} + b\dot{x} & = F(x), \\ \frac{m\chi}{\tau^2}\frac{d^2\hat{x}}{d\hat{t}^2} + \frac{b\chi}{\tau}\frac{d\hat{x}}{d\hat{t}} & = \mathcal{F}\hat{F}(\hat{x}), \\ \frac{m}{b\tau}\frac{d^2\hat{x}}{d\hat{t}^2} + \frac{d\hat{x}}{d\hat{t}} & = \frac{\mathcal{F}\tau}{b\chi}\hat{F}(\hat{x}). \\ \end{align}

A continuación, eligiendo la mejor escala para $F$ $\mathcal{F} = b\chi/\tau$ hemos

$$ \frac{m}{b\tau}\frac{d^2\hat{x}}{d\hat{t}^2} + \frac{d\hat{x}}{d\hat{t}} = \hat{F}(\hat{x}), $$

que ahora es una ecuación adimensional, es decir, cualquier pre-multiplicando grupo (como $m/b\tau$) no tiene dimensiones, ni los derivados. Si la distinción de escalas para $x$ $t$ son cuidadosamente elegidos, los derivados (sin pre-multiplicando los grupos) se dice que es de orden "1" (es decir, $d\hat{x}/d\hat{t} = O(1)$ etc.) Ahora puede ser evidente que si el grupo $m/b\tau \ll 1$, luego los de segundo orden derivados es de menor importancia que los demás términos y puede ser "bajado" de la líder del saldo de la orden, que conduce a la

$$ \frac{d\hat{x}}{d\hat{t}} = \hat{F}(x), $$

que es equivalente a la segunda ecuación. Lo que esto está diciendo que físicamente no es que la inercia de plazo "se desvanece" (es decir, no estamos estableciendo $m\ddot{x} = 0$), sino que su valor numérico es tan pequeño que sólo juega un papel menor en la determinación de la dinámica del sistema. En este caso, las principales dinámicas que son determinados por "forzar" y "amortiguación", o en otras palabras, la amortiguación término domina la inercia plazo en el equilibrio físico. Otras condiciones dará lugar a otros líderes de la orden de los saldos que es donde el "interior" y "exterior" de las soluciones mencionadas por otro corresponsal de venir.

Answer 4

Este régimen es muy poco intuitivo y es visto, de hecho, muy rara vez en la física, aunque algunos circuitos superconductores siga una ecuación similar. Es complicado lidiar con matemáticamente, como tomar el límite de $m\to0$ cambia el carácter de la educación a distancia, pero se puede hacer si usted tiene cuidado sobre ella. Este límite es más fácil de comprender por el principio de que la partícula es siempre viajar en el local de la velocidad terminal.

Para hacer este preciso, considere la ecuación general se plantean, $$ m\ddot x+b\dot x=F(x).\tag1 $$ Imaginar, para empezar, que $F\equiv F_0$ es constante a lo largo de algunos tramos de $x$. La solución general es de la forma $$x(t)=\frac {F_0}b t+x(0)-\frac mb e^{-\frac bm t}\left(\dot x(0)-\frac{F_0}b\right),$$ y tiene dos constantes de integración, $x(0)$$\dot x(0)$, como corresponde a una de segundo orden de la educación a distancia. Sin embargo, si la partícula es muy ligero (pensaba que este límite es, y va a ser largo, muy difícil de tomar, como $m$ lleva la información de las dimensiones), entonces el segundo término se vuelve despreciable. Por un lado, se multiplica por una muy pequeña constante, por lo que se hace más y más pequeña. Lo que es más importante, sin embargo, el tiempo de relajación de la exponencial, $\tau=m/b$, se hace muy corto. Esto significa que a menos que tenga muy sensible el tiempo de resolución, por el tiempo de observar la partícula, se han relajado en el terminal velocity $v_0=F_0/b$.

El mismo principio se aplica si la partícula ahora se cruza en una región que tiene un poco diferentes de la fuerza de $F\equiv F_1$. La partícula que va a tomar algún tiempo $\sim\tau$ a relajarse en la nueva terminal velocity, $v_1=F_1/b$, tiempo durante el cual el segundo orden de los caracteres de la conducción de la educación a distancia será observable, pero después de que todo lo que veremos es el movimiento a la velocidad terminal.

Del mismo modo, si $F(x)$ es algo de "lento" en función de la posición, entonces la partícula siempre relajarse en el local de la velocidad terminal antes de haber tenido tiempo para darse cuenta de que tiene algunos inercia con la que combatir la 'resistencia del aire' proporcionado por $b$.

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No conozco ningún sistema mecánico donde tal una versión simplificada de la ecuación podría ser espera. Si usted tomó una mecánica de la partícula sujeta a la electrostática, magnética, gravitacional, dipolar, o de otras fuerzas externas, y hecha la masa muy pequeña, la granularidad de la media proporcionar la amortiguación resultará evidente mucho antes de que usted llegó a este régimen. En su lugar, tendría que observar el movimiento Browniano.

Por otro lado, hay un modelo para circuitos superconductores, y, en particular, para uniones Josephson en ciertas circunstancias, que no siga esta ecuación. Este modelo es conocido como el resistively-capacitivo desviada de unión (RCSJ) modelo, y usted puede encontrar a ACEPTAR exposiciones de ella aquí y aquí.

Básicamente, una red de uniones Josephson es una capa muy delgada de material aislante entre dos superconductores. La corriente a través de la unión, debido a la mecánica cuántica efectos, se da en ciertos regímenes por $$I=I_C\sin\varphi,$$ donde $I_C$ es una crítica actual y $\varphi$ es la diferencia de fase entre la wavefunctions del par de Cooper se condensa en ambos lados, que crece a una tasa rige por la tensión de $V=\frac\hbar {q_e}\dot\varphi$ a través de la unión.

Por otro lado, cualquier red de uniones Josephson todavía tiene algunos finito de resistencia (a través de efectos no triviales) y una parte muy pequeña de la capacitancia. El modelo más simple que captura este es para poner los tres en paralelo:

^{(Fuente de la imagen)}

La corriente a través del resistor es $I=V/R=\cfrac\hbar{q_eR}\dot\varphi$, mientras que la corriente a través del condensador es $I=\dot Q=C\dot V=\cfrac{C\hbar}{q_e}\ddot\varphi$. Si te conectas todos los tres elementos para una fuente de corriente en corriente $I_0$, obtendrá una ecuación de la forma

$$I_0=I_C\sin(\varphi)+\cfrac\hbar{q_eR}\dot\varphi+\cfrac{C\hbar}{q_e}\ddot\varphi,$$

y este es de la forma (1), donde la fuerza es proporcionada por un 'inclinado lavadero potencial.

Mientras eso sucede, el límite de esta ecuación es la overdamped caso, porque la "masa", $\frac{\hbar}{q_e}C$, es proporcional a la capacitancia, y si esto es distinto de cero es a menudo (pero no siempre) muy pequeños. Por lo tanto, usted puede hacer una analogía mecánica para este circuito, la interpretación de la fase de $\varphi$ como la posición de una 'partícula', y aquí la inercia es a menudo insignificante.

Answer 5

Tanto de las ecuaciones mencionadas en esta pregunta se acaba de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs), que para muchas decisiones específicas de $F(x)$, se pueden resolver analíticamente, el uso de las técnicas estandarizadas para la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En el mundo de la física, en particular un caso común que a menudo surge es $F(x) = -kx$; cuando esta elección particular de $F(x)$ es seleccionado, entonces el problema tradicionalmente se presenta con la etiqueta de la especial y muy nombre específico. En ese caso, se le conoce como el "oscilador armónico amortiguado" problema, y usted puede encontrar muchos ejemplos de soluciones con solo buscar en google el término "oscilador armónico amortiguado". En mi humilde opinión, creo que este autor ofrece una particularmente lúcida presentación en línea, pero hay muchos otros, incluyendo aquellos en los libros de texto estándar así.

Usted puede desarrollar una buena intuición física sobre el caso más general, con la arbitraria $F(x)$, mediante el estudio de la solución para el caso particular donde $F(x) = -kx$, por lo que los demás han tenido la amabilidad de hecho ya el trabajo por delante de usted. Para el estándar de "oscilador armónico amortiguado" problema, es decir, la primera ecuación, donde la inercia término es demasiado grande para ser ignorado, la solución analítica describiendo $x(t)$ va a terminar cayendo en uno de los tres regímenes diferentes, dependiendo de los tamaños relativos de $m$, $b$ y $k$: a.) "underdamped", b.) "críticamente amortiguado", o. c.) "overdamped". Yo no se molestan en explicar lo que significan esos términos aquí, ya que muchos otros autores (por ejemplo, la que he proporcionado en el enlace de arriba) ya han hecho un trabajo realmente bueno de ella. Para entender lo que está pasando con la primera ecuación, es útil para leer a través de alguien más en la solución del oscilador armónico amortiguado problema primero, y luego físicamente parcela de la forma funcional de $x(t)$ vs $t$ ti mismo, para cada uno de los tres casos. Para ser claros sobre lo que la primera ecuación físicamente representa, debe estar imaginando una masa $m$, siendo arrastrado por una fuerza $F(x)$ que varía con la posición, a través de un medio viscoso cuyo espesor/viscosidad/arrastre se rige por $b$. Para el caso particular del oscilador armónico, es decir, $F(x) = -kx$, imaginar la fuerza como por un resorte; es decir, cuanto más se estire o apretar el resorte en dirección opuesta a la de su preferencia posición de reposo, más se empuja en la dirección opuesta. El tamaño relativo del parámetro $k$ codifica la esponjosidad/rigidez del resorte.

De todos modos, la segunda ecuación, la una sin la inercia plazo, por supuesto, tiene una diferente y más sencilla solución analítica para $x(t)$ de la primera ecuación, pero aún así es lo suficientemente complicada que la solución es muy interesante y no trivial. Específicamente, en el oscilador armónico caso de que $F(x) = -kx$, la solución será de la forma: $$x(t) = A e^{(-kt/b)}$$ (you can verify for yourself that this is indeed correct; just take the time derivative and then plug it back into the 2nd equation). Taking first and second derivatives of this expression will give you the time-dependent velocity and acceleration, and you can easily see that neither one is going to end up being constant. For the more general case, where $F(x) \neq -kx$, you will also in general get some time dependent solution for $x(t)$, que por supuesto va a ser diferente de la del oscilador armónico solución, pero en general todavía tiene distinto de cero, no constante, variable en el tiempo la velocidad y la aceleración.

Un punto final: usted puede preguntar, ¿qué situación física ¿la segunda ecuación representa? En el caso específico del oscilador armónico, donde $F(x) = -kx$, usted puede pensar en él como un tipo de caso limitante de la overdamped oscilador ya descritos por una ecuación, en la que se toma el límite de $m \rightarrow 0$. Físicamente, la correcta instalación experimental para la imagen sería una muy grueso, la amortiguación viscosa líquido y un sólido, rígido primavera, con una pequeña masa o incluso sin masa adherida a la final de la misma. Si se va a desplazar físicamente la primavera (es decir, por estiramiento), no se deforman lentamente volver a la posición de reposo, pero una vez que empezaron a acercarse a la posición de equilibrio, simplemente se estancaría en lugar de overshooting pasado, debido a la falta de una inercia plazo no permitir el sobrepaso.