Una difícil simétrica de la desigualdad

Question

En mis estudios de las diversas desigualdades geométricas he llegado a una desigualdad de la que parece verdadero (numéricamente), pero no puedo demostrarlo. Vamos $p$, $q$, y $r$ ser números reales del intervalo de $(0,1)$. También vamos a definir la siguiente función $$f({p})=\frac{\sqrt{1-p}}{(2-p)^2}$$ Prove (or disprove) that: $$ \frac{f(p)+f(q)+f(r)}{\sqrt{p q r}}\leq \frac{f(p)}{p\sqrt{p}}+\frac{f(p)}{q\sqrt{q}}+\frac{f(r)}{r\sqrt{r}} $$

He tratado de multiplicadores de Lagrange, pero las ecuaciones resultantes no parecen fáciles.

EDITAR: La pregunta original tenía la condición de $p+q+r=2$, lo que, aparentemente, no es necesario, así que lo dejó caer. Puedo demostrar que la desigualdad se cumple para $p=q$. Una posible estrategia es intentar establecer la monotonía en uno de los parámetros bajo ciertas condiciones. Lamentablemente yo no puedo administrar los cálculos.

Answer 1

Este es un comentario demasiado largo para caber en el formato habitual. Poner $g(x)=\frac{f(x)}{x\sqrt{x}}$. Entonces la desigualdad se muestra es

$$ \frac{f(p)+f(q)+f(r)}{\sqrt{p q r}}\leq g( p ) +g( q ) +g( r ) \etiqueta{1} $$

Me puede mostrar esta desigualdad, en un caso especial, al $r=\frac{1}{10}$. De hecho, una mayor desigualdad se cumple en este caso :

$$ \frac{f(p)+f(q)+f(r)}{\sqrt{p q r}}\leq g( r ) \etiqueta{2} $$

Mostrar (2), será suficiente para mostrar los cuatro siguientes desigualdades :

$$ \begin{array}{lc} \frac{f(p)}{\sqrt{p q r}}\leq \frac{9}{10} & (3) \\ \frac{f(q)}{\sqrt{p q r}}\leq \frac{9}{10} & (4) \\ \frac{f(r)}{\sqrt{p q r}}\leq \frac{9}{10} & (5) \\ 6 \leq g(r) & (6) \\ \end{array} $$

Consideran que el término $$T_1=\bigg(\frac{9}{10} (2-p)^2\bigg)^2pqr - (1-p) $$ Utilizando el hecho de que $r=\frac{1}{10}$ y $q=(19/10)-p$, $T_1$ puede ser reescrito $$ T_1=\frac{673289}{10^8}+\frac{62373961}{10^8}(1-q)+\frac{29403}{80000}(1-q)^2+ (1-q)^3\Bigg(\frac{81}{1000}(1-p)^3 + \frac{1701}{5000}(1-p)^2 + \frac{48033}{100000}(1-p) + \frac{58887}{500000}\Bigg) $$ Por lo $T_1$ es no negativa, que produce (3). Intercambiando $p$$q$, obtenemos (4). Tenemos $$ f ( r )=\frac{1}{(2-\frac{1}{10})^2} \sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{300}{361\sqrt{10}} \etiqueta{7} $$ y por lo tanto $$ \frac{f ( r )}{\sqrt{pqr}} = \frac{300}{361\sqrt{pq}} $$ La identidad $$ pq-(\frac{10}{9} \times \frac{300}{361})^2=\frac{556001}{11728890}+(1-p)(1-q) $$ muestra que $pq \geq (\frac{10}{9} \times \frac{300}{361})^2$, que los rendimientos (5). Finalmente, podemos deducir a partir de (7) que $$ g ( r )=\frac{f ( r ) }{r\sqrt{r}}=\frac{300}{361\sqrt{10}} \times 10\sqrt{10}=\frac{3000}{361} $$ y esto es de hecho mayor que $6$, lo que demuestra (6) y se establece el $r=\frac{1}{10}$de los casos.

Answer 2

Tuve la oportunidad de probar este, en fin. Aquí está un breve esbozo de la prueba. Voy a utilizar la siguiente hecho:

Lema. Para números positivos, si $a\geq b\geq c$ $(x_1,x_2,x_3)\succ(y_1,y_2,y_3)$ $ax_1+bx_2+cx_3\geq ay_1+by_2+cy_3\geq ay_i+by_j+cy_k$ donde $(i,j,k)$ es una permutación arbitraria de $(1,2,3)$

Ahora observe que la función : $g(p)=f(p)/\sqrt{p}$ es la disminución en $(0,1)$. Suponga $p\leq q\leq r$. Nuestra desigualdad es equivalente a:$$\frac{g(p)}{p}+\frac{g(q)}{q}+\frac{g(r)}{r}\geq\frac{g(p)}{\sqrt{q r}}+\frac{g(q)}{\sqrt{p r}}+\frac{g(r)}{\sqrt{p q}}$$ Let's put $x_1=1/p, x_2=1/q$, $x_3=1/r$ and $y_1=(x_1+x_2)/2, y_2=(x_1+x_3)/2, y_3=(x_2+x_3)/2$. Notice that $x_1\geq x_2\geq x_3$, $y_1\geq y_2\geq y_3$ and $(x_1,x_2,x_3)\succ(y_1,y_2,y_3)$. Applying the lemma for $a=g(p), b=g(q)$ and $c=g(r)$ ($\geq b\geq c$ because $g(x)$ es decreciente), se obtiene: $$ ax_1+bx_2+cx_3\geq ay_3+by_2+cy_1=\frac{x_2+x_3}{2}+b\frac{x_1+x_3}{2}+c\frac{x_1+x_2}{2}\geq\sqrt{x_2 x_3}+b\sqrt{x_1 x_3} + c\sqrt{x_1, x_2} $$

y esto es exactamente lo que estamos tratando de probar.