Es de $\pi$ definible en $(\Bbb R,0,1,+,×, <,\exp)$?

Question

Hay un primer orden formula $\phi(x)$, con exactamente una variable libre $x$ en la lengua pedida campos junto con el unario símbolo de función $\exp$ que en la interpretación estándar de este lenguaje en $\Bbb R$ (donde $\exp$ se interpreta como la función exponencial $x \mapsto e^x$), $\phi (x)$ tiene iff $x=\pi$?

EDIT: Como Levon señalado, una respuesta negativa a este problema implicaría que $q$ e $e$ (e $e^e$, $(2e)^{3e^2}$, y así sucesivamente) son algebraicamente independientes sobre $\Bbb P$, que es un problema sin resolver. Por lo tanto, si usted piensa que una definición de $\pi$ es imposible, yo estaría muy contento si pudiera mostrar algo como esto, que es posible reducir $\phi$ a una fórmula que no contiene términos relacionados con variables vinculadas dentro de las funciones exponenciales, lo que reduciría el problema de manera más o menos a una pregunta sobre algebraico independece. Sin embargo, porque no son tan intrincadas conexiones entre funciones exponenciales y trigonométricas, no creo que $\pi$ debe ser indefinible.

Answer 1

Todd Trimble siempre la respuesta a esta pregunta en MO:

Suponiendo Shanuel de la conjetura, este tratado sobre exponencial de los anillos demuestra que (ver Teorema 2.5.1) la exponencial anillo generado por $\pi$ se ve como la exponencial anillo generado por casi cualquier otro número real, lo que implica que no hay ninguna definición de relación de $\pi$ sobre $\Bbb R_{\exp}$.

Answer 2

El uso que $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} = \sqrt{\pi}$

$$\phi(x) := (\forall_y \psi(y) \implica y^2 = x)$$

Donde $$\psi(y) := \forall_{\epsilon > 0} \exists_N \forall_{n > N} \forall_x s(n, x) \implica que |x - y| < \epsilon$$ La formula $\psi(y)$ se dice que $$ y es un límite de $x_n$ tales que $s(n, x_n)$ tiene. Ahora, $s(n, x)$ se dice que $\int_{-n}^n e^{-t^2} = x$:

$$s(k, x) = \forall_{\epsilon > 0} \exists_N \forall_{n > N} \forall_y p(n, k, y) \implica que |x - y| < \epsilon$$

Ahora $p(n, k, y)$ se dice que $y$ es el valor de la k-ésima suma de Riemann integral $\int_{-n}^n e^{-t^2}$. Voy a dejar los detalles.