Posible ambigüedad en el uso de la función Delta de Dirac

Question

Al hacer integración en varias variables con una restricción sobre las variables, se puede (al menos en algunos libros de física) insertar un $\delta\text{-function}$ plazo en la integral para tener en cuenta esta restricción.

Por ejemplo, a la hora de calcular $$\displaystyle\int f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$ sujeto a la restricción $$g(x,y,z)=0,$$ uno puede calcular su lugar $$\displaystyle\int f(x,y,z)\delta\left(g(x,y,z)\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$$

La ambigüedad aquí es que, en lugar de $\delta\left(g(x,y,z)\right)$, uno puede también utilizar $\delta\left(g^2(x,y,z)\right)$, $\delta\left(k g(x,y,z)\right)$ donde $k$ es una constante, o nada como estas para dar cuenta de la restricción $g(x,y,z)=0$.

Pero esto conduce a problemas, ya que el resultado de la integración seguramente será cambiado por el uso de diferentes argumentos en la $\delta\text{-function}$. Y todos sabemos que el $\delta\text{-function}$ no es adimensional.

Mi impresión es que muchos de los libros físicos de uso de la $\delta\text{-function}$ en una manera similar al ejemplo anterior. El ejemplo más reciente que encontré en en "Física Cinética" por Pitaevskii y Lifshitz, el último volumen de la Landau de la serie.

En su nota de pie de página a la Ecuación (1.1) en la página 3, hay un plazo $\delta(M\cos\theta)$ a cuenta del hecho de que el momento angular $\mathbf{M}$ es perpendicular al eje molecular. Pero entonces, ¿por qué no simplemente $\delta(\cos\theta)$ en lugar de $\delta(M\cos\theta)$?

Se puede decir que cuando el uso de $\delta(\cos\theta)$, la dimensión de resultado es incorrecto. Aunque este argumento puede ser útil en otros contextos, aquí para este ejemplo concreto, el problema es que no está claro en qué dimensión debe el resultado tiene (la razón para mí tener esta pregunta es porque yo no entiendo muy bien su Ecuación (1.1), pero me temo que no mucha gente lee este libro).

Para ser claro: yo no estoy diciendo que los cálculos en este u otros libros utilizando el$\delta\text{-function}$, de forma similar a lo que muestran arriba están mal. Estoy sorprendida por la ambigüedad cuando se invoca la $\delta\text{-function}$. ¿Qué tipo de "guía" uno debe seguir cuando la traducción de una restricción física en un $\delta$-a la función? Tenga en cuenta que yo soy no preguntar acerca de las propiedades (o reglas de transformación) de las $\delta\text{-function}$.

Actualización: Dado que este es un stackexchange para la física, en primer lugar quisiera olvidarse de las $\delta\text{-function}$ matemáticas y preguntar, ¿cómo se entiende y se derivan de la ecuación (1.1) en el libro "Física Cinética" (por favor, siga este enlace, que debe ser visible por todo el mundo)?

Answer 1

1) Como OP básicamente notas, una $n$-dimensional de la función delta transforma en virtud del cambio de las variables de $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ (el valor absoluto de) una relación inversa entre la Jacobiana

$$ \tag{1} \delta^n(f(x))~=~ \sum_{x_{(0)},f(x_{(0)})=0 }\frac{1}{|\det(\partial f(x_{(0)}))|} \delta^n(x-x_{(0)}), $$

donde la suma de $\sum$ es sobre todo ceros $x_{(0)}$$f$, es decir, los puntos de $x_{(0)}$ cuando la función de $f(x_{(0)})=0$ se desvanece.

2) Una situación típica que surge cuando uno reparametrizes $m$ restricciones

$$ \tag{2} \chi^{a}(x) ~\longrightarrow~ \chi^{\prime a}(x)~=~ \sum_{b=1}^{m} R^{a}{}_{b}(x) \chi^{b}(x) $$

en una $n$-dimensiones del espacio (es decir $\mathbb{R^n}$ por simplicidad) con $m\leq n$. Aquí los dos conjuntos de restricciones

$$\tag{3} \chi^{1}(x)~=~0, \ldots, \chi^{m}(x)~=~0, \qquad \text{and} \qquad \chi^{\prime 1}(x)~=~0, \ldots, \chi^{\prime m}(x)~=~0,$$

se supone que describen el mismo $n-m$ dimensional cero-locus set $\Sigma\subseteq\mathbb{R^n}$. Técnicamente, también vamos a imponer que la matriz cuadrada a $R^{a}{}_{b}$, y tanto las matrices rectangulares $\partial_i \chi^{a}$$\partial_i \chi^{\prime a}$, máxima rango de $m$ sobre el cero-locus set $\Sigma$. A continuación, la función delta de restricciones transforma con una Jacobiana inversa

$$ \etiqueta{4} \delta^m(\chi^{\prime }(x)) ~=~ \frac{1}{|\det(R(x))|}\delta^m(\chi(x)). $$

3) En todas las ramas de la física es importante para mantener un seguimiento de tales Jacobiana factores.

E. g. en la ruta integral de la formulación de las teorías gauge, donde se impone el indicador de las condiciones de fijación de $\chi$ (también conocido como la elección de la medida) a través de una función delta $\delta(\chi)$, es importante insertar una compensación de Faddeev-Popov determinante (que se transforma con el opuesto Jacobiana factor de bajo reparametrizations del calibre de las condiciones de fijación), para mantener la ruta integral independiente de $\chi$.

4) la Medida en que podamos decir Ref. 1 es el cuidado de mantener la misma convención en todo el libro. En lugar de especular sobre lo que es el más natural de la convención, es más importante ser consistente. Concretamente, Ref. 1 está discutiendo los elementos de volumen para las distribuciones de la forma $$\tag{5} d\tau~=~dV d\Gamma, \qquad dV~:=~dx~dy~dz,$$ donde $d\Gamma$ denotar variables adicionales.

1. Para un gas monoatómico, uno puede elegir la $d\Gamma=d^3p$, pero también se podría optar $d\Gamma=d^3v=m^{-3} d^3p$ donde ${\bf p}=m{\bf v}$.

2. En la aproximación que Ref. 1 trabaja para una molécula diatómica, no hay un momento de inercia (y por lo tanto no es el momento angular de componente ${\bf M}\cdot {\bf n}=0$) en la dirección ${\bf n}$ el (simetría) del eje de la molécula diatómica. Aquí $|{\bf n}|=1$. Por lo tanto es natural elegir $$\tag{6} d\Gamma~=~d^3p~d^3M \iint_{{\bf n}}\! d^2n~\delta({\bf M}\cdot {\bf n}). $$ Con esférico de la descomposición de ${\bf M}=M{\bf m}$ donde ${\bf m}\cdot {\bf n}=\cos\theta$, esto se convierte en $$ d\Gamma~=~d^3p~M^2dM~d^2m \iint_{{\bf n}}\! d^2n ~\delta(M\cos\theta)$$ $$~=~d^3p~MdM~d^2m \int_{0}^{2\pi}\! d\varphi \int_{-1}^{1}\!d\cos\theta ~\delta(\cos\theta)$$ $$\tag{7}~=~2\pi ~d^3p~MdM~d^2m, $$ que es eq. (1.1) en la Ref. 1.

Referencias:

1. Pitaevskii y Lifshitz, Física Cinética.

Answer 2

Depende de lo que se desea calcular. Como bien se nota, delta funciones no son adimensionales, por lo que la inclusión de uno en su integral cambiará su dimensionalidad: usted va a calcular algo diferente! La mayoría de las veces esto no importa si lo haces bien, pero usted no necesita pensar acerca de lo que se desea calcular.

La integral de la $\int f(x,y,z)\delta(g(x,y,z))dxdydz$ bien puede ser lo que usted quiere, aunque, por supuesto, usted debe tomar nota de que su dimensionalidad se $[f/g]\times\text{volume}$. En cualquier aplicación que usted necesita prestar mucha atención a esta expresión y ver si coincide, geométricamente, lo que se desea calcular. Esto se agrava por el hecho de que la tasa de cambio de $g$ a través de su cero puede cambiar en diferentes partes de la superficie. (Este será el caso, por ejemplo, si usted cambia de $g$ $g\times h$ donde $h$ nunca es cero, pero no es una constante.) En ese caso, la contribución relativa de las diferentes partes de la superficie a la integral puede cambiar, que por supuesto es muy malo!

Si es la pura superficie de la integral, $$\int_{g=0}f\,\text d\mu,$$ that you want, then you really should "neutralize" the action of the delta function with the appropriate derivative of $g$: $$\int_{g=0}f\,\text d^2\mu=\int f(x,y,z)\,|\nabla g(x,y,z)|\delta(g(x,y,z))\,dxdydz.$$ La cantidad de $|\nabla g|\delta(g)$ es geométricas invariantes sospecho que eres realmente, y después de la integral, por lo tanto no depende de la elección de $g$. Para más información, la sección de Propiedades en $n$ dimensiones si el artículo de la Wikipedia se ve como un buen lugar para empezar.

Answer 3

La Integral de la medida, después de la inserción de la función delta, que es $\delta(g(x_i))\prod_i dx_i$, debe tener la dimensión correcta, creo. En este problema en particular, cada componente del momento angular, si está presente en la integral de medida, debe contribuir dimensión [M]. Ahora un componente particular es fijo, este componente de forma natural aparece en la función delta. Como consecuencia, la dimensión asociada a la componente de baja de la integral. En la final, con dos grados de libertad, dos componentes del momento angular, la dimensión de la integral de medida es [M]^2.

Answer 4

Si hay una restricción como $g(x,y,z)=0$, entonces las variables de $x,y,z$ no son todos independientes en la integral. Usted puede expresar, por ejemplo, $x=F(y,z)$, por lo que en los hechos la integración se lleva a cabo a través de $y$$z$. El delta-argumento de la función debe ser tal que se obtenga el mismo resultado como $$\int f(F(y,z),y,z)dydz$$.