Radio de curvatura

Question

Me he encontrado con una pregunta que me pedía encontrar el _radio de curvatura de un proyectil_ .

Hasta donde yo sé, la trayectoria de un proyectil es una parábola y he encontrado mención a la _radio de curvatura_ refiriéndose a las lentes y los espejos. Pero en óptica, se suponía que las lentes y los espejos formaban parte de un círculo.

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo puede una parábola tener un centro a partir del cual se debe medir un radio?

2. ¿Cambia el radio de curvatura con la posición del cuerpo (en movimiento de proyectil)?

3. En mecánica y matemáticas, ¿qué es el radio de curvatura y cómo se calcula (en el caso de una parábola)?

Answer 1

Empecemos por tu última pregunta: de manera informal, el radio de curvatura es una medida de lo puntiaguda que es una determinada curva y de sus esquinas. Dada una curva $y$ se puede calcular su radio de curvatura mediante esta fórmula:

$$\dfrac{\left[1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right]^\dfrac{3}{2}}{\left|\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|}$$

Te preguntarás qué tienen que ver los radios de los círculos con la curvatura, así que vale la pena explicarlo. Esto es una parábola:

Como puede ver, los lados de la parábola son bastante planos, mientras que su vértice y la región circundante (es decir, en $x=0$ ) tienen una esquina relativamente afilada.

La cuestión es cómo describir matemáticamente esta propiedad.

Una forma de hacerlo es utilizar círculos. La parte de la curva que es bastante plana puede considerarse como una sección de un círculo realmente grande (como se muestra en la imagen), este círculo tiene un radio grande, y por lo tanto decimos que esta parte de la curva tiene un radio de curvatura grande, es decir, es muy plana.

Por otro lado, el vértice de la parábola y la región circundante son relativamente afilados y puntiagudos, de ahí que se note que se necesita un círculo de radio pequeño para encajarlo en esta sección afilada de la parábola, decimos que esta región tiene un radio de curvatura pequeño.

También notarás que, el radio de curvatura de una curva, cambia de un punto a otro de la curva, también notarás que, cuando la región es plana, la tasa de cambio del radio de curvatura es pequeña (puedes usar un pequeño número de círculos enormes para describir una región plana), mientras que se necesitan muchos círculos con radios pequeños para describir una esquina aguda, y por lo tanto la tasa de cambio del radio de curvatura es grande en estas regiones.

¿Cómo puede una parábola tener un centro a partir del cual se debe medir el radio?

No, no es así, pero cada punto de la parábola y de la región circundante puede ser considerado como una parte de un círculo de radio determinado.

¿Cambia el radio de curvatura con la posición del cuerpo (en movimiento de proyectil)?

Sí, como ya se ha dicho, el radio de curvatura cambia de un punto a otro de una curva, ya que la trayectoria del proyectil puede modelarse como su posición en una parábola, por lo que el radio de curvatura cambiará con el cambio de posición del proyectil.

Answer 2

Una parábola no tiene un radio de curvatura. Cada punto de la parábola hace . Por lo tanto, si se le pide que encuentre el radio de curvatura de una parábola, usted también hay que dar el punto en la parábola.

Answer 3

Podemos dibujar una tangente (llámese 't') en cualquier punto (llámese 'p')de una curva. También podemos dibujar una circunferencia a la que 't' es una tangente. El radio de esta circunferencia es el radio de curvatura de la curva dada en el punto 'p'.

Una analogía con el movimiento de un cuerpo a lo largo de una trayectoria curva puede facilitar la comprensión.

Cuando un cuerpo se mueve a lo largo de una trayectoria curva, su velocidad cambia constantemente. Sin embargo, podemos hablar de la velocidad instantánea del cuerpo en todos y cada uno de los puntos de la curva.

De forma similar, para una curva dada, el radio de curvatura sigue cambiando a lo largo de la curva. Sin embargo, podemos hablar de radio de curvatura en todos y cada uno de los puntos de la curva. Se refiere al radio del círculo que tiene una tangente común con la curva dada en el punto considerado.