Cada grupo de un grupo de Galois?

Question

Es bien sabido que cualquier grupo finito es el grupo de Galois de una extensión de Galois. Esto se deduce a partir del teorema de Cayley (como puede verse en esta respuesta). Este (vinculado) respuesta me llevó a la siguiente pregunta:

¿Qué acerca de la infinita grupos?

Infinito grupos aparecen como grupos de Galois en infinitas extensiones, como cuando uno define el absoluto grupo de Galois de un campo de $F$. Hay un natural de la topología en el grupo de Galois, llamado el Krull topología, lo que convierte a este grupo en un profinite grupo (es decir, un compacto, totalmente desconectada, topológico de Hausdorff grupo). Puede ser demostrado que cualquier profinite grupo es el grupo de Galois de una extensión (ver este corto de papel por Waterhouse). Por lo tanto, la pregunta anterior es equivalente a la siguiente:

Puede cualquier grupo, dada la estructura de un profinite grupo?

Me gustaría obtener más información acerca de esta pregunta. En particular, si la respuesta es no, hay definido restricciones (por ejemplo, la cardinalidad)?

Answer 1

No. Profinite grupos residual finito (de hecho, un grupo residual finito si y sólo si se incrusta en su profinite finalización) y muchos grupos no son residual finito. Si usted no tiene ninguna restricción en el número de generadores, $\mathbb{Q}$ es un simple ejemplo.

Hay otras restricciones. Un compacto Hausdorff grupo tiene una medida de Haar de medición total $1$ y no contables de grupo puede ser equipado con una medida dado que la medida de cualquier singleton no puede ser de $0$ y no puede ser positivo. Esto descarta $\mathbb{Q}$, pero también reglas, por ejemplo, $\mathbb{Z}$.

Answer 2

Esto no puede ser cierto desde un profinite grupo no puede ser contables (http://mathoverflow.net/questions/4939/is-there-a-compact-group-of-countably-infinite-cardinality) así que por lo tanto no podemos hacer $\mathbb{Z}$ en un profinite grupo.