Estoy buscando una escuela primaria prueba de que el cohomology grupos en el título son triviales en el positivo grados.
En más detener, vamos a $G=\{1,s\}$ ser un grupo de orden dos, y deje $A$ ser un grupo abelian con una acción de $G$. Necesito un elemental prueba de que si $A$ es finito de orden impar, entonces $H^1(G,A)=0$ $H^2(G,A)=0$.
Un no-elemental prueba va como sigue. Desde $|G|=2$ ambos $H^1(G,A)$ $H^2(G,A)$ son asesinados por la multiplicación por $2$. Claro que también son asesinados por la multiplicación por $|A|$. Desde $2$ $|A|$ son coprime, estos cohomology grupos son asesinados por la multiplicación por $1$, por lo que ambos son triviales.
Yo les doy una escuela primaria de la formulación de la afirmación. Deje $A$ ser un grupo abelian y deje $s\colon A\to A$ ser un automorphism tal que $s^2=1$. Conjunto $$ N=s+1, \qquad T=s-1. $$ A continuación,$TS=0$$ST=0$, por lo tanto $$ \mathrm{im\ } N\subseteq \ker T\quad\text{and}\quad \mathrm{im\ } T\subseteq \ker N. $$ Necesito un elemental prueba de la siguiente afirmación:
Teorema. Si $A$ es de un número finito de abelian grupo de orden impar, entonces $\ker T=\mathrm{im\ } N$$\ker N=\mathrm{im\ } T$.
Motivación. Deje $X$ ser un quasiprojective variedad con una estructura adicional sobre ${\mathbb{C}}$. Escribir $G=\mathrm{Gal}({\mathbb{C}}/{\mathbb{R}})$, $G=\{1,s\}$ donde $s$ es el complejo de la conjugación. Deje $sX$ denotar la variedad, con una estructura adicional sobre ${\mathbb{C}}$ obtenido de $X$ por la acción de la compleja conjugación $s$ en los coeficientes de las ecuaciones de definición de $X$. Suponga que $sX$ es isomorfo a $X$. Nos gustaría saber si $X$ admite una forma real. Deje $A=\mathrm{Aut}(X)$, y se supone que $A$ es un grupo abelian. A continuación, se puede construir una obstrucción $\eta(X)\in H^2(G,A)$ a la existencia de una verdadera forma de $X$, ver a mi pregunta. Supongamos ahora que $A$ es de un número finito de abelian grupo de orden impar. Entonces por nuestro teorema tenemos $H^2(G,A)=0$, por lo tanto $\eta(X)=0$ y por lo tanto, $X$ admite una forma real $X_{\mathbb{R}}$. El conjunto de clases de isomorfismo de tales formas reales es una de las principales espacio homogéneo del grupo abelian $H^1(G,A)$, ver de nuevo a mi pregunta. Por nuestra teorema tenemos $H^1(G,A)=0$, por lo tanto, esta forma real es único.
La motivación para una primaria de la prueba: Un posible lector de mi papel viene de análisis y prefiere una primaria de la prueba.
