¿Por qué debería una solución a la ecuación de onda de ser finito?

Question

Dada la onda de la ecuación diferencial

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = k\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$

Cualquier función que satisface la onda de la ecuación diferencial que representa una onda de siempre que es finito en todas partes y en todo momento.

No entiendo la parte finita.

Pregunta:Cual de las siguientes funciones representan una onda?

a) $(x - vt)^2$

b) $\ln(x + vt)$

c) $e^{-(x - vt)^2}$

d) $(x + vt)^{-1}$

Sólo la opción (c) es dada como la respuesta a pesar de que todos los 4 de satisfacer la ecuación diferencial.

Puede alguien explicar? Creo que no he entendido la importancia "de la función debe ser finito en todas partes en todo momento".

Answer 1

Es la semántica. Quien escribió el problema prefiere referirse a una onda como "Una función que satisface la ecuación de onda y que está delimitada" en lugar de "una función que satisface la ecuación de onda".

Lamentablemente no están destinados a ser los convenios que usted no está de acuerdo, pero en lo académico (licenciatura y bajar) la única manera de lidiar con esto es para averiguar cuál de los convenios que el profesor (o el problema escritor) está trabajando con el antes de leer los problemas. Es demasiado fácil para las conversaciones sobre el convenio a su vez, "técnicamente, es una ola, aunque no física", respondió con "técnicamente, no es una onda, ya que es no acotada." Lo mejor que puede hacer es reconocer un problema en la terminología de ASAP y tratar con él de una manera constructiva.

Una mejor instrucción, que es más objetivamente verdadero, sería: "Funciones como $(x-vt)^2$ resolver la ecuación de onda, pero por lo general no vienen y no son útiles en física soluciones".

Answer 2

Lo que nadie ha mencionado hasta ahora, es que el individuo en términos de la función de onda generalmente tienen una interpretación física. Por ejemplo, $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$ representa una aceleración mientras que $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ representa una fuerza. También, en muchos casos, la amplitud de la onda está relacionada con la densidad de energía (o, en la mecánica cuántica, la densidad de probabilidad). Las declaraciones acerca de la finitud, la continuidad de la primera derivados, etc., todos tienen análogos en términos de la finitud de la energía, la fuerza o la capacidad para localizar la ola.

Además, estas soluciones pueden ser válidas en algunos finito de dominio que no incluye las singularidades que son demasiado severas.

Answer 3

Cualquier función que satisface la onda de la ecuación diferencial que representa una onda de siempre que es finito en todas partes y en todo momento.

Tiene que ser finito. Por ejemplo,$f(x, t) = 1/x + 1/(t-1)$. No es una ola, es cierto, pero es sólo un ejemplo. No es finito en todos los puntos y en todos los tiempos, porque en el punto de $x=0$ tenemos $f(0, t) = \infty$) y en el momento $t = 1$ tenemos $f(x, 1) = \infty$. Ya que es infinito, no es finito.

Sobre tu pregunta, $(a)$ falla cuando $x+vt\to\infty$. $(b)$ falla en $x+vt \le 0$. $(d)$ falla en $x+vt=0$