Trisecting un ángulo

Question

En este Numberphile video se afirma que trisecting un ángulo no es posible con sólo una brújula y un borde recto. He aquí una forma que se me ocurrió:

Vamos a la parte superior de la línea de ser Una y la parte inferior de la línea de ser B, y el punto de intersección P.
1. El uso de la brújula y elegir cualquier longitud. Dibujar un punto M n unidades de P hacia A. el Uso de la brújula para dibujar un punto N n unidades de P en la B.
2. Conecte M y N.
3. Ya sabemos cómo trisect una línea, podemos trisect y obtenga de 3 a igual distancia de los segmentos de línea con 2 puntos.
4. Conecte los 2 puntos para el punto P.
5. Hecho.

Esto parece funcionar para todos los ángulos que no son 0 o 180 grados. Dado que está demostrado que no es posible trisect un ángulo con sólo compás y una regla sin marcas, algo debe haber estado equivocado en mis pasos pero no puedo ver ninguna. Donde está mi error?

Answer 1

Deje $X$ $Y$ ser los dos puntos se añaden a $\overline{MN}$, como se muestra.

Considere la posibilidad de $\triangle PMY$. Asumiendo que su trisection de la construcción, para ser válido, $\overline{PX}$ debe bisecar $\angle MPY$. Por el Teorema de la Bisectriz de un Ángulo, tenemos $$\frac{|\overline{PM}|}{|\overline{PY}|} = \frac{|\overline{XM}|}{|\overline{XY}|} = 1$$ de modo que $\overline{PM}\cong\overline{PY}$. Por la misma lógica, $\overline{PN}\cong\overline{PX}$. Así, $M$, $N$, $X$, $Y$ son todos equidistantes de $P$.

Ver el problema?

Answer 2

Si $\angle APB= \alpha$, la mitad del ángulo (parte media) se han de medir $$ \beta = 2\arctan \left(\frac{\tan(\alpha/2)}{3}\right) {\Large\color{red}{\ne}} \dfrac{\alpha}{3}. $$

Un par de ejemplos: \begin{array}{|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & error\\ \hline 3^\circ & 1.000203^\circ & 0.0203\%\\ 6^\circ & 2.001626^\circ & 0.0813\%\\ 9^\circ & 3.005494^\circ &0.183\%\\ \hline 30^\circ & 10.207818^\circ & 2.078\%\\ 60^\circ & 21.786789^\circ & 8.933\%\\ 90^\circ & 36.869897^\circ & 22.899\%\\ \hline \end{array}

Cuando los ángulos son pequeños, entonces este método no da mala aproximación, pero no es la exacta forma de trisection.

Answer 3

Deje que su ángulo de casi 180 grados, por lo que sus dos líneas son casi coincidentes. La línea de $MN$ también es casi paralelo a las líneas, y trisecting segmento que conduce a la muy desigual "tercios" del ángulo.