Hace una sección que se desvanece en cada punto de desaparecer?

Question

Deje $R$ ser el anillo de coordenadas de un afín compleja variedad (es decir, finitely generado, conmutativa, la reducción de $\mathbb{C}$ álgebra) y $M$ $R$ módulo.

Deje $s\in M$ ser un elemento, de tal manera que $s\in \mathfrak{m}M$ para cada ideal maximal $\mathfrak{m}$. ¿Esto implica $s=0$?

Answer 1

En general no, no. Por ejemplo, si $R = \mathbb C[T]$ $M$ es el campo de fracciones de $R$, es decir,$\mathbb C(T)$, entonces (a) cada ideal maximal de a $R$ que es lo principal; (b) cada elemento de $M$ es divisible por cada elemento no nulo de a $R$. Poner (a) y (b) juntos nos encontramos con que $M = \mathfrak m M$ para cada ideal maximal $\mathfrak m$$R$, pero sin duda $M \neq 0.$

Aquí está una finitely generado ejemplo: de nuevo tome $R = \mathbb C[T]$, y tome $M = \mathbb C[T]/(T^2).$ $s = T \bmod T^2 \in \mathfrak m M$ por cada $\mathfrak m$, debido a que $\mathfrak m M = M$ si $\mathfrak m$ es un ideal maximal otros de $(T)$, y este es claro a partir de la elección de $s$ si $\mathfrak m = (T)$.

La respuesta es sí si $M$ es finitely generado y de torsión libre. Para dejar $S$ el total cociente del anillo de $R$ (es decir, el producto de las funciones de los campos de $K(X)$ para cada componente irreducible $X$ de la variedad conectado a $R$).
A continuación, $M$ incrusta en $S\otimes_R M$ (esta es la torsión de la condición libre), que a su vez incorpora en un producto finito de copias de $S$ (ya que es finito tipo más de $S$, que es solo un producto de los campos).

Compensación denominadores, nos encontramos con que, de hecho, $M$ a continuación, se incrusta en $R^n$ algunos $n$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar el resultado para $M = R^n$, y por lo tanto, para $R$, en cuyo caso se desprende de la Nullstellensatz, junto con el hecho de que $R$ es reducido.

Por último, tenga en cuenta que para cualquier finitely generadas $R$-módulo, si $M = \mathfrak m M$ todos los $\mathfrak m$ a continuación, $M = 0$ (desde Nakayama implica entonces que $M_{\mathfrak m} = 0$ para todos los $\mathfrak m$). Por lo tanto si $M$ es distinto de cero no puede ser que cada sección se encuentra en $\mathfrak m M$ todos los $\mathfrak m$.