¿Es el teorema de Green-Tao una consecuencia del teorema de Euler?

Question

La conjetura Erdos-Turán afirma que

Si $A\subset\mathbb{N}$ es tal que $$ \sum_{n\in A} \frac{1}{n} = \infty,$$ entonces $A$ contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud.

Me interesa cuando $A$ es el conjunto de todos los números primos . En este caso, sabemos que, a través del teorema de Euler, $$ \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p} = \infty.$$

Así que tenemos el Teorema de Green-Tao:

La secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

¿Es el teorema de Green-Tao una consecuencia del teorema de Euler? En otras palabras, ¿en la demostración del teorema de Green-Tao se utiliza el teorema de Euler?

Answer 1

Terence Tao tiene un documento en su sitio web

http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Expository/gy-corr.dvi

explicando que la única información sobre los números primos necesaria para la prueba de Green-Tao es que $\zeta(s)$ tiene un polo simple en $s=1$ .

Ese comportamiento de zeta es equivalente a la "función zeta primera" $\sum \frac{1}{p^s}$ teniendo una singularidad logarítmica en el mismo punto, por lo que $\sum \frac{1}{p^s} - \log (\frac{1}{s-1})$ es analítico cerca de $s=1$ . Esto es algo más que la divergencia de $\sum \frac {1}{p}$ pero se puede demostrar por el mismo método que la prueba de la divergencia de Euler.

Una interpretación poco rigurosa de esto es que en muchos lugares del documento de Green-Tao, los supuestos de la densidad natural pueden (probablemente) ser sustituidos por afirmaciones más débiles sobre la densidad de Dirichlet.