Mostrar que
$$\left| \sum_{k=1}^{n} \frac {\mu(k)}{k} \right| \le 1 $$
donde $\mu$ es Moebius función y n es un entero positivo.
Lo difícil aquí es que la suma no es directamente divisor suma; es algo normal en suma. Lo que sé es que cuando $F(n)=\sum_{d|n}f(d)$,
$$\sum_{k=1}^N F(k)=\sum_{k=1}^N f(k)\left[\frac{N}{k}\right]$$
Pero apenas fue útil, ya que dada la desigualdad, no contienen el Guass función, por lo que se hizo realmente complicado(y no estoy muy seguro en el uso de la doulbe-suma). Una cosa que también sé es que
$$\frac{\phi(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}$$
También trató de utilizar este uso de Moebius de la Inversión de la Fórmula, pero también se volvió muy complicado. Por ejemplo, podemos deducir que
$$\frac{\mu(k)}{k}=\sum_{d|k}\frac{\phi(d)}{d} \mu \left(\frac{k}{d}\right)$$
Yo no podía hacerlo más compacto. Así por sustitución, obtenemos
$$\sum_{k=1}^{n} \frac {\mu(k)}{k}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{d\mid k}\frac{\phi(d)}{d} \mu \left(\frac{k}{d}\right)$$
Si no fuera por la $k$ en el término derecho de Moebius función, se puede utilizar el primer lema que yo había escrito, pero no se puede. Así que estoy atrapado.
Podría alguien ayudarme a resolver este problema? Estaría muy agradecido si alguien pudiera también me dará métodos generales para abordar divisor de suma de problemas, ya que estoy teniendo un tiempo difícil, en el que se cambia el orden de doulbe-sumatorias.
Gracias!
