Ecuación de un rectángulo

Question

Necesito graficar un rectángulo en el sistema de coordenadas cartesianas. ¿Existe una ecuación para un rectángulo? No la encuentro en ningún sitio.

Answer 1

Basado en la respuesta de Raskolnikov ici se puede construir una ecuación cartesiana implícita para un $2p \times 2q$ rectángulo:

$$\left(\frac{x}{p}\right)^2+\left(\frac{y}{q}\right)^2=\sec\left(\arctan\left(\frac{x}{p},\frac{y}{q}\right)-\frac{\pi}{2}\left\lfloor\frac2{\pi}\arctan\left(\frac{x}{p},\frac{y}{q}\right)+\frac12\right\rfloor\right)^2$$

Otra se basa en la modificación de la ecuación implícita de una curva de Lamé:

$$\left|\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\right|+\left|\frac{x}{p}-\frac{y}{q}\right|=2$$

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Para los propósitos de trazado con un ordenador, la ecuación implícita no es terriblemente conveniente de manejar, así que voy a lanzar un conjunto de ecuaciones cartesianas paramétricas de forma gratuita, basado en las ecuaciones paramétricas de la curva de Lamé:

$$\begin{align*}x&=p\left(|\cos\,t|\cos\,t+|\sin\,t|\sin\,t\right)\\y&=q\left(|\cos\,t|\cos\,t-|\sin\,t|\sin\,t\right)\end{align*}$$

Aquí hay otro, basado en un caso especial de las ecuaciones paramétricas dadas en esta respuesta :

$$\begin{align*}x&=p\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\lfloor u\rfloor\right)-(2u-2\lfloor u\rfloor-1)\sin\left(\frac{\pi}{2}\lfloor u\rfloor\right)\right)\\y&=q\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\lfloor u\rfloor\right)+(2u-2\lfloor u\rfloor-1)\cos \left(\frac{\pi}{2}\lfloor u\rfloor\right)\right)\end{align*}$$

...y otra más:

$$\begin{align*}x&=p\max\left(-1,\min\left(\frac4{\pi}\arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi u}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right),1\right)\right)\\y&=q\max\left(-1,\min\left(-\frac4{\pi}\arcsin\left(\cos\left(\frac{\pi u}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right),1\right)\right)\end{align*}$$

...y supongo que debería parar aquí. ;)

Answer 2

Esta es una ecuación para un rectángulo que tiene las esquinas en $(a,b)$ y $(c,d)$

$$(x-a)(x-c)(y-b)(y-d)=0$$

pero se extiende un poco más allá de las esquinas, así que en lugar de

$$\sqrt{(a-x)(x-c)}\sqrt{(b-y)(y-d)}=0$$

que arrojaría un error para las raíces cuadradas de los números negativos

Answer 3

Hace poco encontré una nueva forma paramétrica para un rectángulo, que no conocía antes: $$\begin{align} x(u) &= \frac{1}{2}\cdot w\cdot \mathrm{sgn}(\cos(u)),\\ y(u) &= \frac{1}{2}\cdot h\cdot \mathrm{sgn}(\sin(u)),\quad (0 \leq u \leq 2\pi) \end{align}$$ donde $w$ es la anchura del rectángulo y $h$ es su altura.

He utilizado esto en el modelado de superficies paramétricas regladas, donde parece ser bastante útil.

Answer 4

En general, la fórmula implícita para un rectángulo a la $x^2 + y^2 = a^2$ para los círculos no va a estar bien definido. Esto debería estar al menos algo claro, ya que el límite de un rectángulo no es analítico (suave) como lo es el límite de un círculo. Supongo que podríamos generar una función de pieza para graficar los bordes, algo así como $$f(x,y) = \begin {cases} (x,b) , (x,0) & 0 \leq x \leq b \\ (0,y) , (a,y) & 0 \leq y \leq a \end {cases}$$ Para un rectángulo con su esquina inferior izquierda en (0,0) y lados a,b. Tal función es desordenada, todavía no es analítica y no te ayuda mucho. En definitiva, creo que buscar una buena función implícita de un rectángulo va a ser improductivo. ¿A qué problema intentas aplicar esto? Cualquier comentario en cuanto a tus próximos pasos / aplicaciones para la ecuación que estás buscando será útil.

Answer 5

Tal vez esté buscando algo así: para $x\in(-1,2)$ parcela $y=|x|$ y $y=3-|x-1|$ .