centenas de $7^{999999}$

Question

¿Cuál es el valor de la centena del número $7^{999999}$ ?

Equivale a encontrar el valor de $a$ para la congruencia $$7^{999999}\equiv a\pmod{1000}$$

Answer 1

Dejemos que $\varphi$ denota la función de Euler Phi, entonces $$ \varphi(1000) = \varphi(2^35^3) = (8-4)(125-25) = 400 $$ Por lo tanto, por el teorema de Euler, $$ 7^{400} \equiv 1 \pmod{1000} $$ Por lo tanto, $$ 7^{999999} \equiv 7^{399} \equiv 7^{-1} \pmod{1000} $$ Ahora, $$ 143\cdot 7 - 1000 = 1 $$ Y por lo tanto $7^{-1} \equiv 143$ . Por lo tanto,

El dígito de las centenas de $7^{999999}$ es 1.

Answer 2

Usa el teorema de Euler: $7^{\phi (1000)} 1 \mod 1000 $ .

Por la fórmula del producto de Euler: $\phi(1000) = 1000\cdot(1-\frac{1}{2})\cdot(1-\frac{1}{5})=400$

Así que $7^{400}1 \mod 1000 $ .

$999999=400\cdot 2500-1$ . Así que basta con encontrar $7^{399}\mod 1000$ .

Answer 3

Utilizando Función de Carmichael , $$\lambda(1000)=100\implies 7^{100}\equiv1\pmod{1000}$$

Alternativamente,

tenemos $7^2=49=50-1,7^4=(50-1)^2=50^2-2\cdot50\cdot1+1^2=1+2400$

$7^{20}=(7^4)^5=(1+2400)^5=1+\binom512400+\binom52(2400)^2+\cdots\equiv1\pmod{1000}$

Ahora , $999999\equiv-1\pmod{100}\equiv-1\pmod{20}$

Así que en cualquier caso, $7^{999999}\equiv7^{-1}\pmod{1000}$

$$\text{Now, }\frac{1000}7=142+\frac67=142+\frac1{\frac76}=142+\frac1{1+\frac16}$$

Por lo tanto, la convergencia anterior de $\displaystyle\frac{1000}7$ es $\displaystyle142+\frac1{1+\frac11}=\frac{143}1$

Utilizando la propiedad convergente (Teorema $3$ aquí ) de la fracción continua, $1000\cdot1-7\cdot143=-1$

$\displaystyle\implies 7^{-1}\equiv143\pmod{1000}$