Es $\ln(x)$ cada vez mayor de $x$?

Question

Es $\forall x \in \mathbb{R}, \ln(x) \lt x$ una verdadera declaración?

Sólo me preguntaba por algunos de convergencia relacionados cosa

Answer 1

Dado

$$f(x) = x - \ln(x),$$

entonces

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{x}.$$

Valor extremo de $f'(x) = 0$, por lo que

$$x = 1$$

Tenga en cuenta que

$$f"(x) = \frac{1}{x^2},$$

como $f''(1) = 1$ del valor extremo es un mínimo, de donde $f(x) \ge f(1)$, lo que

$$f(x) \ge 1.$$

Por lo tanto,$x - \ln(x) \ge 1 > 0$, de donde

$$\ln(x) < x.$$

Answer 2

En primer lugar observamos que por definición de $e^x$ hemos $$x< \underbrace{\frac{x^0}{0!}}_{=1}+\underbrace{\frac{x^1}{1!}}_{=x}+\sum_{k=2}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x$$ for every $x >0$. Now since $(\ln(x))'= \frac{1}{x}> 0$ for every $x> 0$ it is clear that $x \mapsto \ln(x)$ es estrictamente creciente, la combinación de estos hechos muestra $$\ln(x) < \ln(e^x) = x,$$ para cada $x > 0$.

Answer 3

Podemos obtener un mayor resultado utilizando el método que se muestra por @johannesvalks. Vamos

$$f(x) = x - e \ln x.$$

Entonces

$$f'(x) = 1 - \frac{e}{x}.$$

La función de $f(x)$ tiene un máximo local o un mínimo sólo al $f'(x) = 0$, es decir, en

$$x = e.$$

Podemos demostrar esto es lo mínimo, ya sea tomando la segunda derivada o mediante el examen de $f(x)$ en algún otro valor positivo de la $x$. Por lo tanto, para todos los $x > 0$,

$$f(x) = x - e \ln x \ge f(e) = 0.$$

Es decir,

$$x \ge e \ln x.$$

Usted puede utilizar este hecho para probar otras cosas, tales como su estado de cuenta en un comentario que $(log_{10} x)^4 < x$.