La definición de la dimensión vino primero?

Question

En mi geometría algebraica clase, la dimensión de una variedad afín $X=V(I)$ se definió como el supremum de la longitud de las cadenas de primer ideales en el anillo de coordenadas $R=k[x_1,\ldots,x_n]/\sqrt{I}$ o, la dimensión de Krull de $R$. Unos minutos más tarde, nos dieron la definición en términos de trascendencia grado: la dimensión de la $X$ si $X$ es integral, es la trascendencia grado de $K(R)$$k$. También he visto dimensión se define en términos del grado de Hilbert polinomios (Teorema C, página 225 en Eisenbud).

Mi pregunta: cual de estos llegó primero y por qué? Por qué las otras definiciones desarrollado? ¿Qué nos permiten hacer más fácilmente o de forma efectiva que las anteriores definiciones no?

Answer 1

El capítulo 8 de Eisenbud tiene una corta historia de la dimensión en la geometría algebraica, incluso dando los axiomas de una teoría de la dimensión. El orden histórico parece ser la trascendencia grado (creo meromorphic funciones en una superficie de Riemann), dimensión de Krull, luego de Hilbert de funciones. En particular, Eisenbud menciona que, a pesar de que uno podría sospechar de manera diferente, el más poderoso método de cálculo hoy en día es a través de la función de Hilbert, a través de aplicaciones de bases de Groebner.

Yo también localizó a una cita a la que llegó por primera vez a la mente con respecto a la Zariski el espacio de la tangente, de Eisenbud-Harris, p.28: "[...] esto fue algunos años después de Krull había introducido la noción de un anillo local regular para generalizar las propiedades de los polinomios de anillos, uno de los raros casos en que el algebraists vencer a los geómetras a la fundamental noción geométrica."