¿Cómo se puede mejorar mi prueba? "Dejemos $n$ sea un número entero. Si $3n$ es impar entonces también lo es $n$ ."

Question

Estoy intentando estudiar por mi cuenta las técnicas de prueba y su crítica a mi siguiente prueba sería muy apreciada. Siéntanse libres de criticar cosas menores o triviales; ¡así es como aprenderé!

Edición: He adjuntado una prueba revisada con las críticas recibidas para que otros novatos puedan aprender también de mis progresos.

Edición 2: Y otra, ¿a la tercera va la vencida?

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Teorema: Sea $n$ sea un número entero. Si $3n$ es impar entonces $n$ es impar.

Dejemos que $P$ sea la frase " $3n$ es impar" y $Q$ sea la frase " $n$ es impar". Por lo tanto, tenemos;

$$P \rightarrow Q$$

Por la ley del contrapositivo, podemos obtener;

$$\lnot Q \rightarrow \lnot P$$

Lo que se traduce en "Si $n$ no es impar entonces $3n$ no es impar", o dicho de otra manera; "Si $n$ es incluso entonces $3n$ es uniforme".

Si un número entero $n$ es par entonces existe algún número entero $m$ tal que;

$$n = 2m$$

Multiplicando esto por $3$ podemos obtener;

$$3n = 6m \equiv n = 2m$$

Por lo tanto, se ha demostrado que si $n$ es incluso así es $3n$ y que esto equivale a demostrar que si $3n$ es impar entonces también lo es $n$ .

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Intento 2, teniendo en cuenta las críticas anteriores

Teorema: Sea $n$ sea un número entero. Si $3n$ es impar entonces $n$ es impar.

Dejemos que $P$ sea la frase " $3n$ es impar" y $Q$ sea la frase " $n$ es impar". Queremos demostrar que $$P \rightarrow Q$$ y que tomando contrapositivas esto equivale a demostrar $$\lnot Q \rightarrow \lnot P$$ que se traduce en;

"Si $n$ no es impar entonces $3n$ no es impar", o dicho de otra manera; "Si $n$ es incluso entonces $3n$ es uniforme".

Si un número entero $n$ es par entonces existe algún número entero $m$ tal que;

$$n = 2m$$

Multiplicando esto por $3$ podemos obtener;

$$3n = 6m$$

Esto debe seguir siendo par, ya que un entero par multiplicado por un entero impar produce un par.

Ahora debemos demostrar que $3n$ es uniforme. Si esto es así, entonces $6m = 2k$ para algún número entero $k$ .

Como $3n=6m=2k$ que tenemos;

$3n=2k$

Por lo tanto, se ha demostrado que si $n$ es incluso así es $3n$ y que esto equivale a demostrar que si $3n$ es impar entonces también lo es $n$ .

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Intento 3

Teorema: Sea $n$ sea un número entero. Si $3n$ es impar entonces $n$ es impar.

Dejemos que $P$ sea la frase " $3n$ es impar" y $Q$ sea la frase " $n$ es impar". Queremos demostrar que $$P \rightarrow Q$$ y que tomando contrapositivas esto equivale a demostrar $$\lnot Q \rightarrow \lnot P$$ que se traduce en;

"Si $n$ no es impar entonces $3n$ no es impar", o dicho de otra manera; "Si $n$ es incluso entonces $3n$ es uniforme".

Si un número entero $n$ es par entonces existe algún número entero $m$ tal que;

$$n = 2m$$

Multiplicando esto por $3$ podemos obtener;

$$3n = 6m$$

Que se puede reescribir como;

$$3n = 2(3m)$$

Así, hemos demostrado que $3n$ es par, ya que es igual a $2(3m)$ que, al ser un entero multiplicado por 2, debe ser par.

Por lo tanto, se ha demostrado que si $n$ es incluso así es $3n$ y que esto equivale a demostrar que si $3n$ es impar entonces también lo es $n$ .

Answer 1

Tu argumento está estructurado como si estuvieras argumentando desde tu conclusión. La forma correcta de exponer este argumento es "queremos demostrar que $P \Rightarrow Q$ y tomando los contrapositivos esto es equivalente (tampoco lo has dicho) a demostrar que $\neg Q \Rightarrow \neg P$ ."

Supongo que estás usando $\equiv$ para significar "es equivalente a", pero esto suele reservarse para una relación de equivalencia en las matemáticas objetos no en la matemática declaraciones. Para las declaraciones debe utilizar $\Leftrightarrow$ .

Y, por supuesto, los comentarios de Arturo son acertados.

Answer 2

El final de la prueba no es muy claro. En primer lugar, no hay ninguna razón para pasar de $3n=6m$ volver a $n=2m$ . En cambio, para demostrar que $3n$ es par, debes demostrar que se puede escribir como $2k$ para algunos entero $k$ . Así que lo que quieres es tomar $3n=6m$ y exprese $6m$ como $2k$ para algunos $k$ . Que demostrará que $3n$ es uniforme (cosa que todavía no ha hecho, al menos no explícitamente).

No sé para qué tipo de curso es esto; si es para un curso de "introducción a las pruebas", lo más probable es que se te exija ser muy explícito sobre lo que estás haciendo, así que la apertura de tu argumento es probablemente requerida y buena. Después, deberías tener la libertad de resumir los tres primeros párrafos de tu prueba en su totalidad: "Procedemos por contraposición: supongamos $n$ está en paz. Entonces..."

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Comenta la adición: La afirmación de que "esto debe ser par porque un entero par multiplicado por un entero impar produce un par" se basa en una afirmación que, por lo que sé, no ha sido probada, y que es mucho más general de lo que se necesita aquí.

Simplemente escriba $3n$ como 2 x <some integer> explícitamente . Dado que usted sabe que $3n$ es igual a $6m$ debería ser una cuestión trivial expresarlo así.

Segundo: no es la ecuación la que "debe ser par". Las ecuaciones (como los enunciados) no son ni pares ni Impares. Es enteros que son pares o Impares (en este contexto); entonces, ¿cuál es el "Esto" ¿a qué se refiere? Si "Esto" se refiere a $3n$ La siguiente línea es innecesaria, pero entonces esta frase equivale a afirmar lo que se intenta demostrar (en lugar de demostrarlo).

Tercero: Dado que usted dice que tiene que demostrar que $3n$ es uniforme, usted no puede simplemente decir "Si esto es así..." y proceder. Eso significaría que estás asumiendo lo que quieres demostrar para demostrarlo, lo que por supuesto es un argumento circular. Por supuesto, usted ha llegado a la conclusión de que $3n$ es incluso en ese párrafo: usted comenzó por suponiendo que es uniforme.

Creo que te has convencido de que hay un truco ingenioso o alguna cosa profunda que hay que hacer para demostrar que $3n$ está en paz. No lo hay. Hay una manipulación algebraica simple, más bien trivial, que tienes que hacer a partir de tu ecuación $3n=6m$ que mostrará que $3n$ es, en efecto, uniforme, y eso es todo lo que hay que hacer.