Haar la base para $L^2[0,1]$

Question

$\newcommand{\span}{\operatorname{span}}$ Definir $e_{0,0}\equiv 1$, y para todos los $n\in \mathbb{N}$ $$e_{n,k}=\begin{cases} 2^{n/2} &\text{if } \frac{k-1}{2^n}\leq x\lt \frac{k-\frac{1}{2}}{2^n}\\ -2^{n/2}&\text{if } \frac{k-\frac{1}{2}}{2^n}\leq x\lt \frac{k}{2^n}\\ 0 &\text{otherwise} \end{casos}$$ para $k=1,\ldots,2^n$. Deje $$H:=\{e_{n,k}:n,k\in \mathbb{N}\}.$$

Quiero demostrar que la $H$ es una de Hilbert base para $L^2[0,1]$ con la usal interior del producto. Para probar esto debemos mostrar ese $H$ es ortonormales y que $\span(H)$ es denso en $L^2[0,1]$. Aquí es un buen lugar para comenzar a ver el orthonormality. Para la segunda cosa que tengo el siguiente ejercicio:

Deje $f\in H^{\bot}$, es decir, $f$ es tal que para todos los $n\in \mathbb{N}$ $$\int_0^1 f(x)e_{n,k}(x)dx=0,$$ for $k=1,\ldots,2^n$. Show that for all $n\in \mathbb{N}$ $$\int_0^1f\cdot 1_{[0,k/2^{n})}=0,$$ $k=1,\ldots,2^n$. Conclude that $f\equiv 0$.

El ejercicio muestran que la $(\overline{\span(H)})^{\bot}=\{0\}$ y, a continuación, la densidad de la siguiente manera. Y aquí es donde estoy atascado. Ojalá $f$ eran función continua, sino $f$ es de cuadrado integrable sólo. Si la notación no es claro, solo dime y yo lo arreglaré. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

ncmathsadist la idea funciona con un pequeño cambio:

Primero de todo, se observa que la $L^2[0,1] \subset L^1[0,1]$.

Si $f \in L^1[0,1]$ satisface $\int_{0}^{1} f \cdot e_{k,n} = 0$ todos los $k,n \in \mathbb{N}$$f = 0$.e.

Tenga en cuenta que la integral tiene sentido, ya que cada una de las $e_{k,n}$ está acotada.

Considere la función $\displaystyle F(t) = \int_{0}^{t} f(x)\,dx$ y tenga en cuenta que es absolutamente continua desde $f$ es integrable. Es sencillo mostrar que $0 = F(1) = F(1/2) = F(1/4) = F(3/4) = \cdots $, en palabras, $F(r) = 0$ por cada diádica racional $r$. Pero esto significa $F \equiv 0$$[0,1]$.

Por otro lado, por la diferenciación de Lebesgue teorema, tenemos $F'(t) = f(t)$ en casi todas partes en $[0,1]$, lo $f = 0$.e., como queríamos.

Esto es esencialmente Haar original del argumento en su Tel. D. tesis, véase III §1, páginas 363-365. La primera parte de la tesis apareció como A. Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Mathematische Annalen 69 (3) (1910), 331-371.

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He aquí una más de las manos, pero un poco más laborioso enfoque — espero que tengo los índices de derecho, pero lo más probable es que no he...

Para $m = 2^{k} + n$ puesto $h_m = e_{k,n}$.

1. Para $f \in L^2 [0,1]$ puesto $P^M f = \sum_{m=0}^{2^{M}} \langle f, h_m \rangle h_m$. Tenga en cuenta que $P^M$ es la proyección ortogonal sobre el espacio de funciones que son constantes en ciertos intervalos con diádica racional de los extremos.

2. Si $f \in C[0,1]$ $P^M f \to f$ uniformemente en $[0,1]$.

3. Si $f \in L^2$ es arbitrario, a continuación,$P^M f \to f$$L^2[0,1]$.

Esto demuestra que el subespacio generado por las funciones de Haar es denso en $L^2$.

Answer 2

Yo sugeriría que este rumbo. Primero asuma $f$ es continua (por lo que es en $L^2$). Usted debe ser capaz de demostrar que para cualquier par de diádica racionales $r, s\in[0,1]$, $\int_r^s f(x)\, dx = 0$. Use esto para mostrar que si $f$ es continua, debe tener $f = 0$. Las funciones continuas son densos en $L^2$. Chase algunos $\epsilon$s y se debe trabajar. Quisiera saber si esto es útil.