En el comienzo de la Semana 300 de Juan Báez del blog, Báez le da una prueba de que el "número" de finito de conjuntos (más específicamente, la cardinalidad de la groupoid de todos los conjuntos finitos, donde un objeto en el groupoid cuenta como $1/n!$ si tiene $n!$ simetrías) es igual a $e$.
Él dice que esto conduce a una puramente combinatoria prueba de que $e^x$ es su propia derivada.
¿Alguien puede explicar el puramente combinatoria prueba?
No estoy muy seguro de cómo traducir esto en groupoid cardinalidad idioma, pero he aquí la prueba. Supongamos que $A(x) = \sum_{n \ge 0} a_n \frac{x^n}{n!}$ es una exponencial de generación de función. A continuación, se debe interpretar de $a_n$ como el número de maneras de poner una cierta estructura en un conjunto de tamaño $n$. Por ejemplo, cuando $a_n = 1$ esta es la estructura de "ser". Cuando $a_n = n!$ esta es la estructura de "ser un conjunto totalmente ordenado." Y así sucesivamente. Vamos a llamar a esto un $A$-estructura.
Entonces $A'(x) = \sum_{n \ge 0} a_{n+1} \frac{x^n}{n!}$ puede ser interpretado como tener coeficientes de $b_n = a_{n+1}$ que contar el número de maneras de añadir un elemento a un conjunto de tamaño $n$, a continuación, poner un $A$-estructura en el conjunto resultante de tamaño $n+1$. Esto es puramente combinatoria definición de la diferenciación.
Con esta definición, la prueba es bastante obvia: hay exactamente un camino para que un conjunto a en un conjunto, y también hay exactamente una manera de añadir un elemento a un conjunto y, a continuación, compruebe el resultado de un conjunto. Por lo que $\frac{d}{dx} e^x = e^x$.
Esta prueba podría parecer carente de contenido. Tratar de ver cómo se generaliza para demostrar que $\frac{d}{dx} e^{ax} = ae^{ax}$ para cualquier número entero positivo de $a$, y si usted está listo para un desafío de ver si se puede generalizar a todo el camino a esta identidad.
Vagamente la prueba en groupoid cardinalidad lenguaje va como esta. Para un conjunto finito de $X$ el groupoid finito de conjuntos equipado con una función de a $X$ tiene cardinalidad $e^{|X|}$. (Los morfismos entre dos objetos de $A \a X, B \a X$ en esta categoría son isomorphisms $A \simeq B$ que la obvia triángulo desplazamientos.) Una manera de pensar acerca de este groupoid es como el groupoid de "color", donde $X$ es el conjunto de colores y un isomorfismo debe respetar el color. Entonces es fácil ver que un isomorfismo de la clase de color de conjuntos donde hay $|X|$ colores es la misma cosa como un discontinuo de la unión de clases de isomorfismo de $|X|$ conjuntos, uno para cada color. Uno llega a una interpretación directa de los términos en la expansión de $\left( \sum_{n \ge 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \right)^{|X|}$ de esta manera.
La diferenciación reemplaza $|X|^n$ con $n|X|^{n-1}$, lo que significa que podemos sustituir las funciones de un $n$-element set $S$ a $X$, con funciones desde $S \{ s \} $ $X$, donde $s$ rangos de todos los elementos de $S$. El resultado groupoid es todavía el groupoid finito de conjuntos equipado con una función de a $X$; en particular, tiene la misma cardinalidad. (Tenga en cuenta que $X$ en realidad no tiene que ser un conjunto finito de un tamaño determinado para este argumento para el trabajo; puede ser "formal" en la misma forma que $x$ es una forma variable y el resultado de la groupoid cardinalidad es una generación de función en lugar de un número. Creo que esto es lo que la teoría formal de las cosas "tipos", pero no estoy familiarizado con él.)
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