Las matemáticas detrás de los coeficientes de Clebsch-Gordan

Question

En la física cuántica tenemos que trabajar mucho con los coeficientes de Clebsch-Gordan y generalizaciones como los símbolos de Wigner 3j,6j y 9j. En nuestro curso se nos enseña que los coeficientes son constantes de acoplamiento entre los momentos angulares, o más específicamente, constantes de transformación entre una base de espacio tensorial (m,m' - espín individual como vectores base) y otra base de espacio tensorial (j,m espín total como vectores base).

Lo que no entiendo es lo que este "acoplamiento" representa en un escenario matemático abstracto. Se nos enseña a pensar en el espín como la representación de un grupo de mentiras abstracto. ¿Cómo un "par" dos grupos de Lie juntos? ¿De dónde vienen las construcciones más complicadas como los coeficientes de acoplamiento de 6j o 9j?

Lo siento si la pregunta es un poco amplia y/o poco clara, tengo (lo que creo) una buena comprensión intuitiva del giro, sin embargo no sé casi nada del verdadero formalismo detrás del concepto por lo que cualquier recurso para remediarlo sería muy apreciado.

Answer 1

Los coeficientes C-G aparecen de la siguiente manera: si tienes un grupo (semisimple) $G$ y dos simples $G$ -representaciones $V$ y $W$ puedes formar el producto tensorial $V \otimes W$ . Esta no es, en general, una simple representación por lo que tiene la descomposición como una suma directa de simples representaciones. Los coeficientes C-G son las multiplicidades con las que aparecen módulos simples en esta descomposición.

Si sabe lo que esto significa, esto podría ayudar: los coeficientes C-G son las constantes de la estructura de los anillos en el grupo Grothedieck de su grupo con respecto a la base formada por las representaciones simples.

Un ejemplo de juguete: toma $G=S_4$ el grupo simétrico de orden $4$ y trabajemos sobre los números complejos. Vamos a calcular (en GAP) la tabla de caracteres de $G$ :

gap> g := SymmetricGroup(4);;
gap> tbl := CharacterTable(g);;
gap> Display(tbl);
CT1

     2  3  2  3  .  2
     3  1  .  .  1  .

       1a 2a 2b 3a 4a
    2P 1a 1a 1a 3a 2b
    3P 1a 2a 2b 1a 4a

X.1     1 -1  1  1 -1
X.2     3 -1 -1  .  1
X.3     2  .  2 -1  .
X.4     3  1 -1  . -1
X.5     1  1  1  1  1

Vemos aquí los 5 caracteres irreductibles, que corresponden cada uno a una simple representación. Elijamos el segundo y el tercero:

gap> chi := Irr(tbl)[2];
Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, -1, -1, 0, 1 ] )
gap> tau := Irr(tbl)[3];
Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 2, 0, 2, -1, 0 ] )

y hagamos que GAP calcule el carácter del producto tensorial de las representaciones correspondientes:

gap> sigma := chi * tau;
Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 6, 0, -2, 0, 0 ] )

Finalmente, dejemos que el GAP se descomponga sigma como una suma de caracteres irreductibles:

gap> ConstituentsOfCharacter(sigma);
[ Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, -1, -1, 0, 1 ] ), 
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, 1, -1, 0, -1 ] ) ]

Vemos que sigma es la suma directa de los dos simples módulos de grado $3$ . Esto nos da un poco del conjunto de los coeficientes C-G para $G$ .