Euler de Transformación primaria de la Prueba

Question

En esta página web de la Computación de los Dígitos en la π hay una prueba de Euler de Transformación (página 22).

La prueba se basa en la teoría de la medida y la integración de Lebesgue, no he estudiado todavía.

En la página 22 existe la siguiente declaración:

Euler en realidad no probar general teoremas acerca de esta transformación. Él hizo uso de ella en varios casos específicos, donde él pudiera demostrar que realmente hizo converger a la suma original, convergentes y mucho más rápidamente.

Me preguntaba si alguien sabe de alguna escuela primaria prueba de esta transformación o de una prueba para una serie en particular ?

Yo no encontrar mucha información de esta transformación en línea, un recurso recomendación es bienvenida

Answer 1

Esta no es una respuesta (no sé la prueba formal), pero un comentario porque el poder de Euler-sumación de series como esto es muy impresionante, pero a menudo no es realmente conocido.

Aquí hay una tabla de la progresión del valor final sin y con Euler-suma. De Euler-suma puede tener "órdenes", que intuitivamente significa, itera (pero puede ser interpolada fraccional de pedidos). Aquí está la tabla de uso de Euler-suma "a la orden (0.5)" :

the individual         partial          distance to     partial sums       distance to pi/4
terms of the series    sums             pi/4            by Euler-summ.
-----------------------------------------------------------------------------------------------
     1.00000000000   1.00000000000     0.214601836603   1.00000000000            0.214601836603
   -0.333333333333  0.666666666667    -0.118731496731  0.777777777778         -0.00762038561967
    0.200000000000  0.866666666667    0.0812685032692  0.792592592593          0.00719442919514
   -0.142857142857  0.723809523810   -0.0615886395879  0.784832451499        -0.000565711898330
    0.111111111111  0.834920634921    0.0495224715232  0.785851459926         0.000453296528086
  -0.0909090909091  0.744011544012   -0.0413866193859  0.785350269301       -0.0000478940965617
   0.0769230769231  0.820934620935    0.0355364575372  0.785432796132        0.0000346327349363
  -0.0666666666667  0.754267954268   -0.0311302091295  0.785393836971      -0.00000432642610791
   0.0588235294118  0.813091483680    0.0276933202823  0.785401073569       0.00000291017167712
  -0.0526315789474  0.760459904732   -0.0249382586651  0.785397756972     -0.000000406425094661
   0.0476190476190  0.808078952351    0.0226807889539  0.785398422239      0.000000258841333253
  -0.0434782608696  0.764600691482   -0.0207974719156  0.785398124198    -0.0000000391999284656
   0.0400000000000  0.804600691482    0.0192025280844  0.785398187306     0.0000000239087486163
  -0.0370370370370  0.767563654445   -0.0178345089527  0.785398159544   -0.00000000385353035100
   0.0344827586207  0.802046413065    0.0166482496680  0.785398165666    0.00000000226867304697
  -0.0322580645161  0.769788348549   -0.0156098148481  0.785398163013  -0.000000000384322878997
   0.0303030303030  0.800091378852    0.0146932154549  0.785398163617         2.19652484372E-10
  -0.0285714285714  0.771519950281   -0.0138782131165  0.785398163359        -3.87659406085E-11
   0.0270270270270  0.798546977308    0.0131488139105  0.785398163419         2.16018278683E-11
  -0.0256410256410  0.772905951667   -0.0124922117305  0.785398163394        -3.94612015099E-12
   0.0243902439024  0.797296195569    0.0118980321720  0.785398163400         2.15112513145E-12
  -0.0232558139535  0.774040381616   -0.0113577817815  0.785398163397        -4.04724379093E-13
   0.0222222222222  0.796262603838    0.0108644404407  0.785398163398         2.16404904436E-13
  -0.0212765957447  0.774986008093   -0.0104121553040  0.785398163397        -4.17725596145E-14
   0.0204081632653  0.795394171359   0.00999600796131  0.785398163397         2.19558323752E-14
  -0.0196078431373  0.775786328222  -0.00961183517595  0.785398163397        -4.33468728127E-15
   0.0188679245283  0.794654252750   0.00925608935236  0.785398163397         2.24358184761E-15
  -0.0181818181818  0.776472434568  -0.00892572882946  0.785398163397        -4.51894496246E-16
   0.0175438596491  0.794016294217   0.00861813081966  0.785398163397         2.30671631889E-16
  -0.0169491525424  0.777067141675  -0.00833102172271  0.785398163397        -4.73009122777E-17
   0.0163934426230  0.793460584298   0.00806242090024  0.785398163397         2.38422950230E-17
  -0.0158730158730  0.777587568425  -0.00781059497278  0.785398163397        -4.96870530081E-18

Tenga en cuenta que este "orden de 0.5" parece ser óptima; el simple Euler-suma (que eran "de orden 1") acelera no tan espectaculares.