Para calcular $\tan1-\tan3+\tan5-\cdots+\tan89$, $\tan1+\tan3+\tan5+\cdots+\tan89$

Question

¿Cómo podemos calcular : $$i)\ S_1 = \tan1-\tan3+\tan5-\cdots+\tan89$$ y $$ii)\ S_2 = \tan1+\tan3+\tan5+\cdots+\tan89$$

todos los ángulos en grados. Gracias

Answer 1

Numéricamente, $S_1$ está muy cerca de 45, esto sugiere que podría haber una simple derivación. De hecho, tiene uno. Para $S_2$, no tengo idea.

Para $S_1$, aviso $$\begin{array}{rrrrr} \tan 1^\circ = \cot 89^\circ,& \tan 5^\circ = \cot 84^\circ,& \ldots,& \tan k^\circ = \cot (90-k)^\circ,& \ldots\\ -\tan 3^\circ = \cot 93^\circ,& -\tan 7^\circ = \cot 97^\circ,&\ldots,& -\tan k^\circ = \cot(90+k)^\circ,&\ldots \end{array}$$ Podemos reescribir $S_1$

$$S_1 = \sum_{k=0}^{44}\cot(4k+1)^\circ = \sum_{k=0}^{44}\cot\left(\frac{\pi k}{45} + \frac{\pi}{180}\right)$$

El uso de las siguientes fórmulas para el seno:

$$\sin(Nx) = 2^{N-1}\prod_{k=0}^{N-1} \sin\left(\frac{\pi k}{N} + x\right)$$

tomar logaritmo y se diferencian con respecto a $x$ nos da

$$N\cot(Nx) = \sum_{k=0}^{N-1} \cot\left(\frac{\pi k}{N} + x\right)$$

y por lo tanto

$$S_1 = 45\cot\left(45\times\frac{\pi}{180}\right) = 45\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 45.$$

Answer 2

El valor de i) es de 45.

Mathematica calcula el valor numérico, y que sugirió que buscara una solución con los productos y derivados. Aquí está una derivación.

De acuerdo con este post, la siguiente es una identidad trigonométrica.

$$2\,\sin \left( n\theta \right) =\prod _{k=0}^{n-1}2\,\sin \left( \theta+{\frac {k\pi }{n}} \right)$$

Deje $n=45$ para obtener la siguiente identidad.

$$2\,\sin \left( 45\theta \right) =\prod _{k=0}^{44}2\,\sin \left( \theta+k4^\circ \right)$$

Diferenciar ambos lados con respecto a $\theta$ y el uso de la identidad original para obtener la siguiente identidad.

$$90\,\cos\left( 45\theta \right)=\left(\prod _{k=0}^{44}2\,\sin \left( \theta+k4^\circ \right)\right)\sum_{k=0}^{44}\cot\left( \theta+k4^\circ \right) =2\sin(45\theta)\sum_{k=0}^{44}\cot\left( \theta+k4^\circ \right)$$

Deje $\theta=1^\circ$ para obtener el siguiente.

$$45\,\cot\left( 45^\circ \right)=\cot(1^\circ)+\cot(5^\circ)+\cdots+\cot(177^\circ)$$

Usando las identidades trigonométricas,

$$45=\tan(89^\circ)+\tan(85^\circ)+\cdots+\tan(1^\circ)+\cot(177^\circ)+\cot(173^\circ)+\cdots\cot(93^\circ),$$

que con un poco de reordenamiento es el resultado deseado.