Estoy tratando de entender la intuición de que me debe tener sobre el grupo formal de una curva elíptica. Decir que tengo una curva elíptica $E\to \text{Spec} R$ para algunos ring $R$, con la sección $0\colon \text{Spec} R\to E$. Mi primera pregunta es: cuando oigo hablar de la "terminación de $E$ a lo largo de $0$", debo pensar que una cosa es el esquema formal cuyo subyacente espacio topológico es $0(\text{Spec} R)$ y cuya gavilla de los anillos es la realización de $\mathcal O_E$ con respecto al ideal de la gavilla de la definición de $0(\text{Spec} R)$ en E? Y ¿cuál es la relación de este objeto con el grupo formal de $E$? Mi segunda pregunta es: decir que tengo un lugar de fuga diferencial $\omega \in H^0(E,\Omega_{E/R}^1)$. Yo de alguna manera tienen esta idea (pero no puedo entender cómo es cierto) que la conclusión a lo largo de la sección cero nos dice acerca de la "expansión de Taylor" de $\omega$. ¿Cómo hace uno para formalizar? También, es el ligamento $\Omega_{E/R}^1$ siempre a nivel mundial isomorfo a $\mathcal O_E$? o sólo es invertible? Gracias de antemano si usted está dispuesto a ayudarme!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La mayoría de los de este post es una colcha de ejemplos y comentarios que otros me han ofrecido cuando se le preguntó acerca de los planes oficiales, que he encontrado muy útil. Con suerte, ellos te ayudarán.
Esto es sólo el seguimiento de Sebastián de la respuesta para explicar por qué su intuición es correcta: la finalización oficial de E a lo largo de la "0"de la sección es como la expansión en series de Taylor de E sobre el origen.
Como ustedes saben, la serie de Taylor son generalmente de la forma $f(x+y) = f(x) + yP_1(x) + y^2P_2(X) + ...$ donde $P_i(x) = \frac{f^{(i)}(x)}{i!}$. Sin embargo, este utiliza la exponencial, lo que no hace sentido, incluso como un poder formal de la serie, en el carácter $p$.
En cierto sentido, " la realización en un punto de $t=0$' le da la serie de Taylor de un mapa en el algebraico-geométricas, pero me gustaría hacer hincapié en que es más general de lo que esta. En lugar de un simple y llano de alimentación de la serie $\text{A}[[t]]$, tendremos una topologized de alimentación de la serie con el $t$-ádico de la topología, $\text{Spf } A[[t]]$.
Spf es el "formal espectro de un anillo," vale la pena mencionar explícitamente que su topología es diferente de la Especificación: $$\text{colim }(\text{Spec } A[t]/t^n) =: \text{Spf } A[[t]]$$ $$\text{Spec } (\text{lim } A[t]/t^n) =: \text{Spec } A[[t]]$$
Tenga en cuenta que un grupo formal de la ley es la formal espectro de potencia de la serie ring.
Tenga en cuenta que un esquema formal puede ser considerado como una expresión algebraica de reemplazo de tubular barrios (si tenemos en cuenta la finalización oficial de una subvariedad dentro del ambiente de la variedad).
Echemos un vistazo a una curva elíptica $C \to \text{Spec } A$.
$\text{Spec } A[t]/t^2$ es como el truncamiento de la serie de Taylor después de que la información dada por la derivada primera, es la primera infinitesimal barrio de $\text{Spec }A$.
Del mismo modo, $\text{Spec } A[t]/t^3$ es el segundo infinitesimal barrio, y necesitamos un poco más grande infinitesimal barrio para tomar la segunda derivada.
Quiero que se imaginen:
- $\text{Spec } A$ como una línea, sentado en $t=0$,
- $\text{Spec }A[t]/t^2$ como un infinitesimal normal bulto que sobresale de la línea
- $\text{Spec }A[t]/t^3$ como un poco más gordo de lo infinitesimal normal bulto que sobresale de la línea, etc.
En el caso de un grupo formal de la ley, queremos escribir todo de los derivados, así que nos tomamos el colimit de $\text{Spec } A[t]/t^n$, que es, por definición, el esquema formal $\text{Spf } A[[t]]$.
Zariski a nivel local, la realización de $C$ es isomorfo al esquema formal, $\text{Spf }A[[t]]$.
Por ejemplo: Zariski localmente,$\text{Spec } A$, podemos poner nuestra curva elíptica en Weierstrass forma normal $y^2 + a_1 xy = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$ (fuera de la característica 2 y 3, podemos tomar $a_1 = 0$).
De esta forma, la variable $z = x/y$ es un uniformizer en la identidad ($y$ tiene un polo de orden 3 en la identidad, $x$ tiene uno de orden 2, por lo $x/y$ tiene cero de orden 1). Así que es razonable esperar que los $\text{Spf }A[[z]]$ a la finalización oficial a lo largo de la identidad.
En cuanto a la primera pregunta: tienes razón. Si tenemos una curva elíptica sobre una base esquema de $\operatorname{Spec}(R)$, la sección cero corresponde a un surjective mapa de $\mathcal{O}_E \to \mathcal{O}_{\operatorname{Spec}(R)}$ cuyo núcleo es el ideal de la gavilla $I$ definición de $\operatorname{Spec}(R)$$E$. La finalización oficial de $\mathcal{O}_E$ con respecto al $I$ da a la finalización oficial, que es, por definición, el grupo formal de la curva elíptica $E$. (Tenga en cuenta que $E$ es un grupo abelian)
Con respecto a la expansión de Taylor no estoy seguro, pero ten en cuenta que si usted tiene un lugar de fuga diferencial $\omega$, como usted dice, este es un lugar de fuga global de la sección de la línea bundle $\Omega_{E/R}^1$. Así, la línea de paquete es trivial y, por tanto, a nivel mundial isomorfo a $\mathcal{O}_E$.
