Solucionar $\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1}=1$ $x$

Question

Alguien puede darme algunos consejos sobre cómo empezar a resolver $\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1}=1$ para x?

Como he intentado el factor de que se expanda, o incluso multiplicando ambos lados por su conjugado, pero nada viene de arriba a la derecha.

Answer 1

SUGERENCIA:

Como $(x+4)-(x+1)=3 \ \ \ \ \ $

$\implies (\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x+1})=3$

$$\text{As }\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1}=1\ \ \ \ \ (1)$$

$$\implies \sqrt{x+4}+\sqrt{x+1}=3\ \ \ \ \ (2)$$

Sumar/restar $(1)$$(2),$, entonces el cuadrado

Generalización :

$$\text{As }(ax+b)-(ax+c)=b-c$$

$$\text{If }\sqrt{ax+b}-\sqrt{ax+c}=d \ \ \ \ \ (1) $$

$$\text{As } (ax+b)-(ax+c)=(\sqrt{ax+b}-\sqrt{ax+c})(\sqrt{ax+b}+\sqrt{ax+c})$$

$$\implies \sqrt{ax+b}+\sqrt{ax+c}=\frac{b-c}d\ \ \ \ \ (2)$$

Sumar/restar $(1)$$(2),$, entonces el cuadrado

Answer 2

Inicio elevándola al cuadrado para obtener

$$x+4-2\sqrt{(x+4)(x+1)}+x+1=1\;,$$

que se simplifica a

$$\sqrt{(x+4)(x+1)}=x+2\;.$$

Ahora la plaza de nuevo.

Answer 3

Multiplicando por el conjugado como se propuso originalmente no funciona aquí. Si se multiplican ambos lados por $\sqrt{x+4} + \sqrt{x+1}$ consigue $$(x+4) - (x+1) = \sqrt{x+4} + \sqrt{x+1}$$ Que es el mismo que $$\sqrt{x+4} + \sqrt{x+1} = 3$$ Agregue esto a la ecuación original y dividir por $2$ obtener $$\sqrt{x+4} = 2$$ El cuadrado de obtener $$x +4 = 4$$ Por lo tanto, $x = 0$ es la única solución.

También tenga en cuenta la similitud de laboratorio bhattacharjee del método.

Answer 4

Deje $a = \sqrt{x+4}$$b=\sqrt{x+1}$. De modo que $a^2 = x + 4$$b^2 = x + 1$.

A partir de la ecuación dada, $$\sqrt{x+4} - \sqrt{x+1}=1 \implies a - b = 1 \ \ \ \text{and} \ \ \ a^2-b^2=3.$$ Así tenemos que, $$a^2-b^2 =(a-b)(a+b)=1 \cdot(a+b)=3 \implies a+b=3.$$ Vemos que $$(a+b)+(a-b) = 2a.$$ También, $$(a+b)+(a-b)=3+1=4.$$ Por lo tanto, $$2a=4 \implies a=2 \implies \sqrt{x+4}=2.$$ La solución para $x$, $$x+4=4 \implies x=0.$$

Answer 5

Tales ecuaciones, si slick trucos tales como laboratorio bhattacharjee no se puedan aplicar, se resuelven con un procedimiento estándar:

\begin{align} &\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1}=1\\[2ex] &\text{Rearrange}\\ &\sqrt{x+4}=1+\sqrt{x+1}\\[2ex] &\text{Square}\\ &x+4=1+2\sqrt{x+1}+(x+1)\\[2ex] &\text{Rearrange}\\ &2=2\sqrt{x+1}\\[2ex] &\text{Simplify}\\ &1=\sqrt{x+1}\\[2ex] &\text{Square}\\ &1=x+1\\[2ex] &x=0 \end{align}

Sólo tenemos que envie que la solución hace que las raíces cuadradas existente, porque en cada uno de los "Cuadrados" de la etapa que estamos tratando con no números negativos. Por supuesto, las condiciones son $$\begin{cases} x\ge-4\\ x\ge-1 \end{casos} $$ que se reducen a $x\ge-1$, satisfechos por nuestra solución.

Algunos cuidados deben ser reservados en diferentes situaciones, cuando no hay ninguna garantía de que en la "Plaza", que se presentó tenemos no los números negativos.