Límite de la secuencia de $a_{n+1}=\frac{1}{2} (a_n+\sqrt{\frac{a_n^2+b_n^2}{2}})$ - no se puede reconocer el patrón

Question

Considere la secuencia:

$$a_0=x,~~~b_0=y$$

$$a_{n+1}=\frac{1}{2} \left(a_n+\sqrt{\frac{a_n^2+b_n^2}{2}} \right),~b_{n+1}=\frac{1}{2} \left(b_n+\sqrt{\frac{a_n^2+b_n^2}{2}}\right)$$

$$\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=l(x,y)$$

No puedo precisar el patrón para el límite. Numéricamente, tengo el siguiente resultado:

$$\frac{1}{l(x,y)}=\arctan (f(x,y))$$

¿Cuál es la expresión explícita para $f(x,y)$?

Ejemplos numéricos:

$$\begin{array}( x & y & \frac{1}{l(x,y)} \\ 1 & 2 & \arctan \left( \frac{3}{4} \right) \\ 1 & 3 & \arctan \left( \frac{1}{2} \right) \\ 2 & 3 & \arctan \left( \frac{5}{12} \right) \\ 3 & 5 & \arctan \left( \frac{1}{4} \right) \\ 1 & 5 & \arctan \left( \frac{\sqrt{13}-3}{2} \right) \\ 4 & 5 & \arctan \left( \frac{9}{40} \right) \\ 3 & 4 & \arctan \left( \frac{7}{24} \right) \\ 3 & 7 & \arctan \left( \frac{\sqrt{29}-5}{2} \right) \end{array}$$

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Editar

Para resumir @IvanNeretin comentario (y añadir mis propios resultados numéricos), hasta el momento tenemos:

$$l(x,0)=\frac{2x}{\pi}$$

$$f(x,x+1)=\frac{2x+1}{2x(x+1)}$$

$$f(x,x+2)=\frac{1}{x+1}$$

$f(x,x+3)$ - véase mi respuesta a continuación

$$f(x,x+4)=\frac{\sqrt{x^2+4x+8}-(x+2)}{2}$$

Aquí $x \in \mathbb{R}^{+}$, $x \neq 0$

También por la simetría que hemos de curso:

$$f(x,y)=f(y,x)$$

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En este punto, es obvio que de ordinario no funciona aquí.

Mi esperanza es conectar $f(x,y)$ a alguna función especial o una integral.

Answer 1

Deje $z_i=a_i + ib_i$. A continuación, su recursividad es $$ z_{n+1}=a_{n+1}+ib_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+ib_n)+\frac{1}{2}(1+i)\sqrt{\frac{a_n^2+b_n^2}{2}}=\frac{1}{2}z_n+\frac{1+i}{2\sqrt{2}}|z_n|=\frac{1}{2}z_n+\frac{1}{2}e^{i\pi/4}|z_n|. $$ Ahora, vamos a $z_n=e^{i(\theta_n+\pi/4)}y_n$, donde el $y_n$ $\theta_n$ son reales. Entonces $$ y_{n+1}e^{i\theta_{n+1}}=\frac{1}{2}y_{n}e^{i\theta_{n}}+\frac{1}{2}y_n=\frac{1}{2}y_n(1+e^{i\theta_n}), $$ así $$ y_{n+1}=\frac{1}{2}y_n\sqrt{2+2\cos\theta_n}=y_n\cos\left(\theta_n/2\right) $$ y $$ \cos(\theta_{n+1})=\frac{y_n}{2y_{n+1}}(1+\cos\theta_n)=\frac{1+\cos\theta_n}{2\cos(\theta_n/2)}=\cos(\theta_n/2),$$ o $$ \theta_{n+1}=\frac{1}{2}\theta_n. $$ Esto sólo le da $\theta_{n}=2^{-n}\theta_{0}$, lo $\theta_{\infty}=0$, y $$ y_{\infty}=y_0\prod_{i=0}^{\infty}\cos(2^{-i}\theta_0/2)=y_0\frac{\sin(\theta_0)}{\theta_0}. $$ El límite de las partes real e imaginaria de $z_n$ es $$ l(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{\infty}=\frac{y_0}{\sqrt{2}}\frac{\sin\theta_0}{\theta_0}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\frac{\sin\theta_0}{\theta_0}, $$ donde $$ \theta_0 = \bronceado^{-1}(y/x) - \frac{\pi}{4}=\tan^{-1}(y/x)-\tan^{-1}(1)=\tan^{-1}\left(\frac{y/x-1}{1+y/x}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{y-x}{y+x}\right). $$ Entonces $$ l(x,y)=\frac{y-x}{2\bronceado^{-1}\left(\frac{y-x} de{y+x}\right)}. $$ Para $(x,y)=(1,2)$, por ejemplo, tenemos $$ l(1,2)=\frac{1}{2\bronceado^{-1}(1/3)}=\frac{1}{\bronceado^{-1}(3/4)}. $$

Answer 2

Geométricamente:

$(a_{n+1}, b_{n+1})= \frac 12 (a_n,b_n) + \frac 12 \sqrt{a_n^2+b_n^2} (\cos \pi/4, \sin \pi/4)$

Así se dibuja una línea entre el $(a_n,b_n)$ y conectarlo a un punto equidistante desde el origen en la línea $x = y$, y encontrar el punto medio.

$r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\\ \phi_n = \bronceado^{-1}(\frac{b_n}{a_n})$

$\phi_{n+1} = \frac{\frac{\pi}{4} + \phi_n}{2}\\ r_{n+1} = r_n\cos(\frac{\frac{\pi}{4} - \phi_n}{2})$