¿Debe considerarse esto como un problema serio con el enfoque de la teoría de la pradera?

Question

La teoría de la pradera (véase aquí ) nos permite aplicar los resultados y conceptos del álgebra universal al estudio de los campos. Obviamente, esto es muy, muy bonito.

Sin embargo, tengo el siguiente problema con el enfoque de la teoría de la pradera: como toda pradera satisface $0^{-1}=0,$ y como esto hace que la reciprocidad en ambos $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ discontinua (en $0$ ), por lo que estos sistemas numéricos no pueden ser vistos como modelos de la teoría de los prados en la categoría $\mathrm{Top}$ a menos que los dotemos de una topología no estándar.

Preguntas.

1. ¿Debe considerarse esto como un problema serio con el enfoque de la teoría de la pradera?

2. ¿Alguien conoce una buena solución?

Answer 1

Realmente depende de lo que quieras estudiar. Si te interesan las cuestiones topológicas, es obvio que las praderas topológicas no incluyen los campos topológicos. En mi opinión, la definición natural de un campo topológico debería ser un anillo topológico (conmutativo) $K$ cuyo anillo subyacente es también un campo tal que el mapa $K^* \to K^*, x \mapsto x^{-1}$ es continua.

Probablemente, un enfoque más natural sería sustituir $K$ por $K \cup \{\infty\}$ y definir $0^{-1} := \infty$ , $\infty^{-1} := 0$ y construir una axiomatización en torno a esta idea. En otras palabras, trabajar con la línea proyectiva $\mathbb{P}^1_K$ en lugar de la línea afín $\mathbb{A}^1_K$ .

P.D.: Me pregunto por qué los conocidos anillos regulares conmutativos de Von Neumann se llaman prados como si fuera un concepto nuevo.