La prueba de Euler para la infinitud de los primos

Question

Estoy intentando refundir la prueba de Euler sobre la infinitud de los primos en lenguaje matemático moderno, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. El enunciado es el siguiente:

$$\prod_{p\in P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}$$

Aquí $P$ es el conjunto de los primos. Lo que me molesta es la segunda igualdad de arriba que se obtiene por la ley distributiva, aplicada no necesariamente de forma finita. ¿Está justificado?

Answer 1

En los comentarios a su pregunta se discute la variación de los esquemas relativos sobre un topos, frente a los esquemas relativos sobre un sitio. Pero parece que su pregunta se situaba en el nivel más básico de la relevancia de los esquemas relativos sobre algo más que un esquema.

En la filosofía de Grothendieck, un esquema relativo $f\colon X\to S$ funciona como una familia de esquemas $X_s$ (para $s\in S$ ) parametrizado por la base $S$ , que es un esquema. Ambos $X$ y $S$ son esquemas, y $f$ es un morfismo de esquemas (posiblemente con propiedades adicionales como ser plano, propio, finito, etéreo, suave, etc.)

Hay casos en los que uno quiere considerar familias de esquemas que están parametrizados por algo más, como un espacio analítico (complejo, Berkovich, Huber ). Por ejemplo, para formular teoremas de tipo GAGA: ¿cómo son las familias analíticas complejas de variedades complejas en un espacio proyectivo dado, cuando el conjunto de parámetros es un disco abierto, por ejemplo?

En la mayoría de los casos importantes, esos espacios están caracterizados esencialmente por anillos (por ejemplo, anillos locales, o anillos de funciones sobre un subespacio compacto y afín) y a veces el estudio anterior puede reducirse al estudio de esquemas relativos sobre esos anillos. Esta técnica se utiliza sistemáticamente en la geometría no arquimédica, por ejemplo.

Sin embargo, podría ser interesante disponer de una teoría completa de esquemas relativos sobre bases. Al ser sobre un topos anillado, la teoría de Monique Hakim puede abarcar todas las situaciones anteriores.

En cualquier caso, dicha teoría no demostrará los resultados básicos (pero difíciles) del álgebra conmutativa que probablemente sean necesarios. En la geometría no arquimédica, es necesario trabajar, por ejemplo, para comparar el esquema $\mathop{\rm Spec}(A)$ y el espacio afín $\mathscr M(A)$ cuando $A$ es un álgebra afín, y de forma similar para una familia relativa $X\to \mathop{\rm Spec}(A)$ y su análisis $X^{\mathrm {an}}\to \mathscr M(A)$ .