Calcular el $\frac13+\frac29+\frac{1}{27}+\frac{2}{81}+\frac{1}{243}+\frac{2}{729}+\ldots$

Question

¿Cómo podemos calcular la fórmula para la siguiente serie?

$\frac13+\frac29+\frac{1}{27}+\frac{2}{81}+\frac{1}{243}+\frac{2}{729}+\ldots$

No estoy muy seguro de qué tipo de serie es de todos modos. No se ve geométricas. ¿Hay alguna estrategia o procedimiento a seguir para calcular la fórmula para una serie de números?

Answer 1

Si usted está buscando el infinito suma, es la suma de dos series geométricas: $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{3^k}+\sum_{k=1}^\infty\frac1{9^k}=\frac12+\frac18=\frac58 $$

Answer 2

Si añadimos vecinos pares, obtenemos $$\frac{5}{9}+\frac{5}{81}+\frac{5}{729}+\cdots.$$ Esta es una infinita serie geométrica con primer término a $\frac{5}{9}$ y la razón común $\frac{1}{9}$.

Por la habitual fórmula para la suma de una progresión geométrica infinita, la suma es $$\frac{5}{9}\frac{1}{1-\frac{1}{9}}.$$ Esto puede ser simplificado a $\frac{5}{8}$.

Answer 3

$$a_n=\begin{cases}\frac{1}{3^n}&,\;\;\text{if $\n\,$ is odd}\\{}\\\frac{2}{3^n}&,\;\;\text{if $\n\,$ is even}\end{cases}\;=\ldots\;$$