Cómo llenar $(0,1)$ con distinto cerrados total de todos los intervalos de medida de la

Question

Este es un problema que se propuso, pero no elegidos, en un concurso de Matemáticas para estudiantes de la Universidad no hace mucho tiempo, y su solución es que faltan:

Deje $\sum_{n=1}^\infty a_n=1$ donde $a_n>0$, para todos los $n\in\mathbb N$. Es posible encontrar pares distintos intervalos cerrados $I_n=[c_n,d_n]\subset (0,1)$ ,$d_n-c_n=a_n$?

EDICIÓN I. La respuesta es sí (véase la Respuesta a la que sigue). Lo interesante sin embargo es que el $(0,1)\smallsetminus\bigcup_{n\in\mathbb N}I_n$ en el vacío. En particular, se puede mostrar que el $$D=[0,1]\smallsetminus\bigcup_{n\in\mathbb N}I_n$$ es un Cantor-como conjunto?

EDICIÓN II. Ver un artículo relevante por Terry Tao.

Answer 1

Elija $c_1=\sum_{k=1}^\infty a_{2k}$$d_1=1-\sum_{k=1}^\infty a_{2k+1}$. Iterar para los dos restantes intervalos y los dos restantes sub-sumas.