Razón del espectro continuo del laplaciano

Question

Para el círculo $S^1$ es bien sabido que el operador de Laplace-Beltrami $\Delta=\text{ div grad}$ tiene un espectro discreto formado por los valores propios $n^2,n\in \mathbb{Z}$ como se puede ver en la base de la función propia $\{\exp(in\theta)\}$ .

Esto no es del todo así en $\mathbb{R}$ el espectro de $\Delta$ hay $[0,\infty)$ . Esto se debe a que existe una familia de funciones propias "escalonadas" que varían continuamente y dan todos los valores propios que necesitamos. Pero me preguntaba si existe una razón más geométrica (quizá relacionada con las propiedades de $\Delta$ ) sobre por qué el espectro es continuo en este caso?

Answer 1

La explicación habitual es que una función propia debe localmente se parecen a una onda sinusoidal, donde la longitud de onda determina el valor propio. En $\mathbb R$ podemos definir ondas sinusoidales con cualquier longitud de onda que queramos, y por tanto también cualquier valor propio que queramos.

Pero en $S^1$ aunque podemos localmente imaginar cualquier longitud de onda, la onda sólo se ajustará a una función de un solo valor globalmente si la longitud de onda divide el perímetro del círculo. Y por eso sólo hay un conjunto discreto de posibles longitudes de onda/valores propios.

¿O es más elemental/específico que lo que buscas?

Answer 2

Creo que la discreción del espectro del laplaciano sólo es válida para las variedades compactas. Para las variedades generales sé muy poco (Yau&Schoen tienen alguna discusión al respecto). Esto se suele demostrar cuando se utilizan resultados de regularidad elíptica junto con un teorema de "incrustación" de cierto tipo ( http://en.wikipedia.org/wiki/Rellich%E2%80%93Kondrachov_theorem ). No se trata de una incrustación en el sentido topológico, sino más bien de una analítica que preserva la compacidad secuencial. Junto con el hecho de que la bola unitaria en un espacio de dimensión infinita nunca es compacta, esto demostró que el espectro debe ser discreto (ya que es de dimensión finita). No sé cómo obtener algo similar sin la suposición de compacidad para las variedades abiertas. Deben ser necesarios algunos argumentos de regularidad elíptica no triviales.

Answer 3

Piensa en lo que ocurre si trabajas con $-\Delta =-\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ en $[-l,l]$ con condiciones periódicas. En este caso, el espectro consiste en todos los múltiplos del valor propio base $\lambda$ donde $\lambda = \pi/l$ . Como $l\rightarrow\infty$ el espectro se hace cada vez más denso en $\mathbb{R}$ . En este sentido, es razonable esperar que el espectro pueda ser todo de $\mathbb{R}$ .

Answer 4

Una respuesta fácil es que la línea real es invariante bajo dilatinas, que preservan el Laplaciano. Cualquier conjunto que sea invariante de la escala en al menos una dirección tiene un espectro continuo.