$K\subseteq \mathbb{R}^n$ es un espacio compacto iff cada función continua en $K$ está acotada.

Question

Necesito demostrar que $K\subseteq \mathbb{R}^n$ es un espacio compacto iff cada función continua en $K$ está acotada.

Una dirección es obvio, por el teorema de Weierstrass. Cómo puedo probar la otra dirección? He tratado de asumir el opuesto pero no funcionó para mí.

Muchas gracias.

Answer 1

Deje $K$ ser un conjunto que es tal que cada función continua en es limitado.

Claramente $K$ sí es acotado, para la función "distancia al origen" está delimitado por la hipótesis.

Supongamos $K$ no está cerrado, por lo que hay un punto de $x$ que es el cierre de la $K$, pero no en $K$. Considere la función $$f:y\in K\mapsto \frac{1}{d(x,y)}\in\mathbb R,$$ which is clearly well defined and continuous. The choice of $x$ implies more or less immediately that $f$ is not bounded on $K$, así que algo anda mal...

Answer 2

Un espacio topológico $X$ se llama pseudocompact si cada función continua $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ está acotada.

El aforelinked artículo de la wikipedia hace un buen trabajo de la comparación de esta condición a otras versiones de la compacidad. En particular:

$\bullet$ compacto $\implies$ countably compacto (es decir, cada contables de la tapa tiene un número finito de subcover; equivalentemente, cada subconjunto infinito tiene un $\omega$-acumulación punto) $\implies$ pseudocompact.

$\bullet$ Normal espacio de Hausdorff es pseudocompact iff es countably compacto iff es punto límite compacto (cada subconjunto infinito tiene un punto de acumulación).

Uno de los grandes teoremas en los análisis es que un espacio metrizable es punto límite compacto iff es compacto iff es secuencialmente compacto, por lo que todas las nociones de compacidad aquí mencionadas coinciden en la clase de metrizable espacios. Esto proporciona una respuesta más general a su pregunta.

Answer 3

Si $K$ no es compacto, existe un subconjunto $D\subseteq K$ que es discreto y lo infinito.

Por otro lado, si $D$ es un subconjunto discreto de $\Bbb R^n$ cualquier función en $D$ se puede extender a una función continua en a $\Bbb R^n$.

Así, acaba de tomar una desenfrenada función de $f$ $D$ (que ciertamente existe) y considerar la restricción a $K$ de una extensión continua de $f$$\Bbb R^n$.