Suma de $1+\frac{1}{2}+\frac{1\cdot2}{2\cdot5}+\frac{1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 5\cdot 8}+\cdots$

Question

Estoy tratando de averiguar la suma de este $$1+\frac{1}{2}+\frac{1\cdot2}{2\cdot5}+\frac{1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 5\cdot 8}+\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{2\cdot 5\cdot 8\cdot 11}+\cdots$$ .

Lo he intentado con el teorema del binomio con índice racional. Pero en vano. ¿Qué debo hacer para resolverlo? Si ya está resuelto, por favor, facilítame el enlace. Soy incapaz de conseguirlo.

Gracias por su ayuda

Answer 1

Desde $$S=1+\sum_{k=0}^{+\infty}\prod_{j=0}^k\frac{j+1}{3j+2}=1+\sum_{k=1}^{+\infty}k\, 3^{-k} B(2/3,k),$$ donde $B(2/3,k)$ es la función Beta de Euler: $$ B(2/3,k)=\int_{0}^{1}x^{-1/3}(1-x)^{k-1}$$

que tenemos: $$S=1+3\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1-x)^{1/3}(3-x)^2}.$$ Ahora la última integral se puede calcular explícitamente, y conduce a:

$$S=\frac{3}{2}-2^{-4/3}\sqrt{3}\operatorname{arccot}\left(\frac{1-2^{4/3}}{\sqrt{3}}\right)+2^{-7/3}\log\left(4+2^{4/3}-2^{5/3}\right)-2^{-4/3}\log\left(2+2^{2/3}\right).$$

Answer 2

Aquí es otro enfoque que no aporta nada a Jack respuesta, pero al menos medianamente entretenido. No utilice el $B$ función, pero en su lugar toma un desvío a través de un "simple" alterna de la serie. Como se indica en los comentarios de la suma es igual a $${}_2F_1(1,1,\tfrac{2}{3};\tfrac{1}{3})$$ and using the transformation $${}_2F_1(\alpha, \beta, \gamma; z) = (1-z)^{-\alpha}{}_2F_1(\alpha, \gamma - \beta, \gamma; \tfrac{z}{z-1})$$ obtenemos:

$$ \begin{eqnarray} {}_2F_1(1,1,\tfrac{2}{3};\tfrac{1}{3}) &=& \tfrac{3}{2}{}_2F_1(1, -\tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3}; -\tfrac{1}{2})\\[1ex] &=& \tfrac{3}{2} + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{3}{2^{n+2}(3n+2)}\\ &=&\tfrac{3}{2} + 2^{-\frac{4}{3}}\int_0^{2^{-\frac{1}{3}}}\frac{3x}{1+x^3}dx\\[1ex] &=&\tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{2} \int_0^1 \frac{x}{2+x^3}dx\\[1ex] \end{eqnarray}$$