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Un conmutador de identidad para delimitada lineal de los mapas y la identidad del operador de un no-cero normativa espacio no es un conmutador

Deje X ser una normativa espacio lineal y S,T:XX ser lineal operadores que STTS=1.

  1. Mostrar que STn+1Tn+1S=(n+1)Tn n=0,1,2,...

  2. Deducir que si S es limitada, a continuación, T es ilimitado.

Para la primera parte pensé en aplicar el principio de inducción matemática.Está bien para obtener el resultado como ese o hay algún otro método para obtener ese resultado?Y para la segunda parte, Ya que STTS=1 es el conmutador del operador,el resultado es obvio,pero ¿cómo puedo dar una prueba de ello?Por favor ayuda!! Gracias!!

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Martin Puntos 5810
  1. Sí, la inducción es el camino a seguir. El caso de n=0 es la hipótesis de STTS=1, y para la inducción paso asumen (n+1)Tn=STn+1Tn+1S y el uso de ST=TS+1 para calcular el (n+1)Tn+1=(n+1)TnT=(STn+1Tn+1S)T=STn+2Tn+1(TS+1)=STn+2Tn+2STn+1 que después de la reorganización de la identidad que desea probar.

  2. No veo cómo la segunda parte es obvio que "[s]esde STTS=1 es el colector", a menos que usted está en positivo de dimensión finita y aplicar la traza para llegar a la contradicción 0=dimX o saber acerca de la Wielandt-Wintner teorema, que es una consecuencia del ejercicio se está resolviendo.

    De todos modos, excluir el caso X=0 y un vistazo a la identidad de la parte 1. Si TN=0 algunos N, vamos a n ser el más pequeño n tal que Tn+1=0. A continuación, STn+1Tn+1S=(n+1)Tn=0 por lo tanto Tn=0 contradiciendo la elección de n. Así, supongamos Tn0 todos los n y asumir que T está acotada. Tome la norma en ambos lados. Dejar el lado derecho como es y por el lado izquierdo de obtener la estimación STn+1Tn+1S2STnT. A continuación, puede deducir 2STn+1 dividiendo por Tn en ambos lados. Esto da lugar a una contradicción.

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