Un conmutador de identidad para delimitada lineal de los mapas y la identidad del operador de un no-cero normativa espacio no es un conmutador

Question

Deje $\mathcal{X}$ ser una normativa espacio lineal y $S,T: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ ser lineal operadores que $S \circ T- T \circ S=1$.

1. Mostrar que $S \circ T^{n+1}- T^{n+1} \circ S=(n+1)T^n$ $n=0,1,2,...$

2. Deducir que si $S$ es limitada, a continuación, $T$ es ilimitado.

Para la primera parte pensé en aplicar el principio de inducción matemática.Está bien para obtener el resultado como ese o hay algún otro método para obtener ese resultado?Y para la segunda parte, Ya que $S \circ T- T \circ S=1$ es el conmutador del operador,el resultado es obvio,pero ¿cómo puedo dar una prueba de ello?Por favor ayuda!! Gracias!!

Answer 1

1. Sí, la inducción es el camino a seguir. El caso de $n=0$ es la hipótesis de $ST - TS = 1$, y para la inducción paso asumen $(n+1)T^{n} = ST^{n+1} - T^{n+1}S$ y el uso de $ST = TS + 1$ para calcular el $$\begin{align*}(n +1) T^{n+1} &= (n+1)T^{n}T = (ST^{n+1} - T^{n+1}S)T = ST^{n+2} - T^{n+1}(TS+1) \\&= ST^{n+2} - T^{n+2}S - T^{n+1}\end{align*}$$ que después de la reorganización de la identidad que desea probar.

2. No veo cómo la segunda parte es obvio que "[s]esde $S \circ T - T\circ S = 1$ es el colector", a menos que usted está en positivo de dimensión finita y aplicar la traza para llegar a la contradicción $0 = \dim\mathcal{X}$ o saber acerca de la Wielandt-Wintner teorema, que es una consecuencia del ejercicio se está resolviendo.

   De todos modos, excluir el caso $\mathcal{X} = 0$ y un vistazo a la identidad de la parte 1. Si $T^{N} = 0$ algunos $N$, vamos a $n$ ser el más pequeño $n$ tal que $T^{n+1} = 0$. A continuación, $ST^{n+1} - T^{n+1}S = (n+1)T^{n} = 0$ por lo tanto $T^{n} = 0$ contradiciendo la elección de $n$. Así, supongamos $T^{n} \neq 0$ todos los $n$ y asumir que $T$ está acotada. Tome la norma en ambos lados. Dejar el lado derecho como es y por el lado izquierdo de obtener la estimación $$\lVert S T^{n+1} - T^{n+1}S\rVert \leq 2 \lVert S\rVert \lVert T^{n} \rVert \lVert T\rVert.$$ A continuación, puede deducir $2 \lVert S \rVert \lVert T \rVert \geq n+1$ dividiendo por $\lVert T^n\Vert$ en ambos lados. Esto da lugar a una contradicción.