Todas las definiciones que he visto de la declaración "$E,F$ son linealmente disjuntos extensiones de $k$" sólo son significativos cuando $E,F$ se dan como los subcampos de un campo más amplio, digamos $K$. Estoy contento con la equivalencia de las distintas definiciones que he visto en este caso. Lang Álgebra VIII.3-4 y (gracias a Pete) Zariski Y Samuel Álgebra Conmutativa 1 II.15-16 tener una buena cobertura de este.
"Ambiente" de las definiciones de lineal disjointness:
Wikipedia dice que significa el mapa $E\otimes_k F\a E. F$ es inyectiva, donde $E. F$ denota su compositum en $K$, el más pequeño de subcampo $K$ que contiene a ambos.
Equivalente (y asimétrica) la condición es que cualquier subconjunto de $E$ la cual es linealmente independiente de más de $k$ es también linealmente independiente de más de $F$ (de ahí el nombre); todo esto ocurre dentro de $K$.
Sin embargo, a menudo veo que el término que se utiliza para el campo de las extensiones que son NO subcampos de una más grande, incluso cuando el campo de las extensiones no son algebraicas (así que no es suposición tácita de que viven en el algebraicas de cierre). Algunos ejemplos de estas situaciones son los siguientes.
Pregunta: ¿Cuál es la definición de "linealmente disjuntos" para el campo de las extensiones que no están especificados dentro de un campo más amplio?
RESPUESTA: (Después de leer el útil de las respuestas de Pete L. Clark, Hagen Knaf, Greg Kuperberg, y JS Milne, gracias chicos! -- Ahora tengo una satisfacción y bastante exhaustivo análisis de la situación).
Hay dos posibles nociones abstractas lineal disjointness para dos extensiones de campo $E,F$ de $k$ (pruebas de abajo):
(1) "en Algún lugar linealmente disjuntos", es decir,
"Existe una extensión de $K$, con mapas de $E,F\K$, las imágenes de $E,F$ son linealmente disjuntos en $K$."
Esto es equivalente al producto tensor $E\otimes_k F$ ser un dominio.
(2) "en todas partes linealmente disjuntos", es decir,
"Para cualquier extensión de $K$, con mapas de $E,F\K$, las imágenes de $E,F$ son linealmente disjuntos en $K$."
Esto es equivalente al producto tensor $E\otimes_k F$ siendo un campo.
Resultados:
(A) Si cualquiera de las $E$ o $F$ es algebraica, entonces (1) y (2) son equivalentes.
(B) Si ni $E$ ni $F$ es algebraica, entonces (2) es imposible.
Dependiendo de cuando teoremas iba a leer correctamente, no estoy seguro de cual de estos debe ser el "derecho" de la definición... (1) se aplica en situaciones más, pero (2) es una buena hipótesis para implícitamente descartar pares de trascendental extensiones. Así que sólo voy a recordar dos de ellos :)
PRUEBAS: (para el futuro frustratees lineal disjointness!)
(1) Lineal disjointness en algún campo $K$, por la Wikipedia la definición anterior, significa que el producto tensor inyecta a $K$, lo que es un dominio. Por el contrario, si el producto tensor es un dominio, entonces $E,F$ son linealmente disjuntos en su campo de fracciones.
(2) Si el producto tensor $E\otimes_k F$ es un campo, ya que cualquier mapa de un campo es inyectiva, por la definición de Wikipedia de arriba, $E,F$ son linealmente disjuntos en cualquier $K$. Por el contrario, si $E \otimes_k F$ es no es un campo, entonces tiene un no-trivial ideal maximal $m$, con cociente de campo dice $K$, y luego desde $E\otimes_k F\K$ ha no trivial núcleo $m$, por definición, $E,F$ no son linealmente disjuntos en $K$.
(A) Cualquiera de las dos extensiones de campo tienen algunos de extensión común (tomar un cociente de su producto tensor por cualquier ideal maximal), por lo que (2) implica (1).
Ahora vamos a mostrar primero que (1) implica (2) suponiendo que $E/k$ es finito extensión. Por hipótesis el producto tensor $E\otimes_k F$ es un dominio, y finito-dimensional como $F$-espacio vectorial, y un finito dimensionales de dominio sobre un campo es automáticamente un campo: la multiplicación por un elemento es inyectiva, por lo tanto surjective por finito de dimensionalidad más de $F$, por lo que tiene una inversa mapa, y la imagen de $1$ en virtud de este mapa es una inversa para el elemento. Por lo tanto (1) implica (2) cuando $E/k$ es finito.
Finalmente, suponiendo que (1) y la única que $E/k$ es algebraica, podemos escribir $E$ como una unión de sus finito sub-extensiones de $E_\lambda/k$. Desde tensoring con campos es exacta, $E_\lambda\otimes_k F$, naturalmente, incluye en
$E\otimes_k F$, lo que es un dominio y, por tanto, un campo por el argumento anterior. Entonces $E\otimes_k F$ es una unión de campos, lo que es un campo, demostrando que (1) implica (2).
(B) Ahora bien, esto es fácil. Deje de $t_1\in E$, $t_2\in F$ es trascendental elementos. Identificar $k(t)=k(t_1)=k(t_2)$ $t\mapsto t_1 \mapsto t_2$, lo $E$,$F$ extensiones de $k(t)$. Deje que $K$ ser una extensión común de $E,F$ más de $k(s)$ (cualquier cociente de $E\otimes_{k(s)} F$ por un ideal maximal va a hacer). Entonces $E,F$ no son linealmente disjuntos en $K$ porque su intersección no es de $k$: por ejemplo, el conjunto { $1,t$ }$\subseteq E$ es linealmente independiente de más de $k$, pero no más de $F$, así que no son linealmente disjuntos por el equivalente a la definición en la parte superior.
Ejemplos en la literatura de lineal disjointness refiriéndose al campo de resumen de las extensiones:
- Eisenbud, Álgebra Conmutativa, Teorema A. 13 (p.564 en mi edición) dice, en el carácter $p$,
"$K$ es separable de más de $k$ ffi $k^{1/p^{\infty}}$ es linealmente disjuntos de $K$."
- Liu, la Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas, Corolario 2.3 (c) (p. 91) dice, por una parte integral algebraicas variedad de $X$ sobre un campo $k$ con la función de campo $K(X)$,
"$X$ es geométricamente integral iff $K(X)$ y $\overline{k}$ son linealmente disjuntos más de $k$.
(Seguimiento: Ya que en estas dos situaciones, una extensión algebraica, las dos definiciones resumen en la respuesta anterior son equivalentes, de modo que todo es fantástico.)
Viejo edit: Mi primera idea era (y todavía es) para decir que el producto tensor es un dominio...
