La primera parte de la respuesta fue mal, así que he quitado de ti. He escrito una nueva versión y lo puso en la final. También la segunda parte (que es ahora la primera parte) ha sido reescrito.
Supongamos $R$ es cerrado (con esto $R$ se convierte en un espacio de Banach).
En general $D$ con el gráfico de la norma $||u||_G := ||u|| + ||A(u)||$ es un espacio de Banach. Esto es así porque es un subconjunto cerrado de $E \oplus F$ desde $A$ es un cerrado operador.
$A$ es claramente delimitado en este espacio. Tomando el cociente del espacio de $D/N$ el mapa de $\tilde A([u]):=A(u)$ está bien definido, delimitado, inyectiva y tiene el mismo rango como $A$. Como tal, $\tilde A: D/N \to R$ es un bijective delimitada mapa entre dos espacios de Banach. El inverso $\tilde A^{-1} : R \to D/N$ es entonces también una limitada operador lineal.
La norma en $D/N$ está dado por: $||[u]||_{D/N}=\text{dist}(u,N)_G=\text{dist}(u,N)+||A(u)||$.
Finalmente:
$$\text{dist}(u,N)=||[u]||_{D/N}-||A(u)||=||\tilde A^{-1}(\tilde A([u]))||_{D/N}-||A(u)||≤(||\tilde A^{-1}||-1)\ ||A(u)||$$
La otra dirección funciona de la siguiente manera:
Supongamos que $\text{dist}(u,N)≤C\ ||A(u)||$ $\forall u \in D$.
Como se ha visto antes de $D/N$ es un espacio de Banach si $D$ es dado gráfico de la norma. En este espacio se puede considerar que la bijective delimitada la función $\tilde A: D/N \to R$.
La inversa de a $\tilde A$ también es limitada ya que:
$$\frac{||\tilde A^{-1}(\tilde A([u]))||_{D/N}}{||\tilde A([u])||}=\frac{\text{dist}(u,N)+||A(u)||}{||A(u)||}≤C+1$$
Ahora vamos a $A(u_n)$ ser de Cauchy. A continuación, $||[u_n]-[u_m]||_{D/N}≤||\tilde A ^{-1}||\cdot ||A(u_n)-A(u_m)]]$ $[u_n]$ es de Cauchy. Pero desde $D/N$ es un espacio de Banach el límite de $[u]$ existe y $||A(u_n)-A(u)||≤||\tilde A||\cdot ||[u_n]-[u]||_{D/N}$, así que como resultado de $A(u_n)$ converge a $A(u)$.
