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¿La función de Dirichlet Riemann es integrable?

La "función Dirichlet" es la función característica de los números racionales en $[a,b] \subset\mathbb {R}$ .

Por un lado, una función en $[a,b]$ es Riemann integrable si y sólo si es limitado y continuo casi en todas partes, lo cual satisface la función Dirichlet.

Por otro lado, la integral superior de la función de Dirichlet es $b-a$ mientras que la integral inferior es $0$ . No coinciden, así que la función no es integrable por Riemann.

Me siento confundido sobre qué explicación debo elegir...

16 votos

La función Dirichlet no es continua en ninguna parte...

5 votos

"Igual a una función continua en casi todas partes" $\ne$ "continua en casi todas partes".

0 votos

Es continuo en ninguna parte.

25voto

John R. Strohm Puntos 1559

La función Dirichlet $f$ no es continua en ninguna parte. Para cada número irracional $x$ hay una secuencia de números racionales $\{r_n\}$ que converge a ella. Tenemos: $$ \lim_{n\to\infty} f(r_n) = 1 \ne 0 = f(x) $$

Así, $f$ no es continua en los números irracionales. Los números racionales se pueden manejar de manera similar.

18voto

Handyman5 Puntos 3517

La función de Dirichlet no es continua en ninguna parte, ya que tanto los números irracionales como los racionales son densos en todo intervalo $[a,b]$ . En cada intervalo el supremum de $f$ es $1$ y el infimo es $0$ por lo que no es integrable de Riemann.

9 votos

Los irracionales no son "densos" en los racionales y viceversa porque esos dos conjuntos son disjuntos. Lo que has querido decir es que los racionales son densos en $[a,b]$ y también los irracionales.

4 votos

Sí, eso es lo que quería decir, lo corregiré.

14voto

Mike West Puntos 3124

Existen dos definiciones diferentes de la función Dirichlet:

$$ D(x) = \begin{cases}1:& x\in\mathbb Q \\ 0:&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}$$

que obviamente no es continua en ninguna parte. Y luego está la versión "reducida", también conocida como La función de Thomae

$$ D(x) = \begin{cases} \frac{1}{b}:& x=\frac{a}{b}\in\mathbb Q \quad\text{is a reduced fraction} \\ 0:&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}$$

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que resulta ser continua en los irracionales, ya que cualquier aproximación de un número irracional por racionales obliga a que el denominador se haga grande. Se puede demostrar que la primera no es integrable por Riemann mientras que la segunda sí lo es y su integral desaparece.

9voto

Anauntta Puntos 51

La función Dirichlet $f : [0, 1] → \mathbb R$ se define por

$$f(x) = \begin{cases} 1, & x ∈ \mathbb Q \\ 0, & x ∈ [0, 1] - \mathbb Q \end{cases}$$

Eso es, $f$ es uno en cada número racional y cero en cada número irracional. Esta función no es integrable de Riemann. Si $P = \{I_1, I_2, . . . , I_n\}$ es una partición de [0, 1], entonces $M_k = \sup I_k = 1, m_k = \inf I_k = 0$ , ya que todo intervalo de longitud no nula contiene tanto números racionales como irracionales. De ello se deduce que $U(f; P) = 1, L(f; P) = 0$ para cada partición $P$ de $[0, 1]$ Así que $U(f) = 1$ y $L(f) = 0$ no son iguales. La función de Dirichlet es discontinua en cada punto de $[0, 1]$ y la moraleja del último ejemplo es que la integral de Riemann de una función altamente discontinua no tiene por qué existir.

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