¿La función de Dirichlet Riemann es integrable?

Question

La "función Dirichlet" es la función característica de los números racionales en $[a,b] \subset\mathbb {R}$ .

Por un lado, una función en $[a,b]$ es Riemann integrable si y sólo si es limitado y continuo casi en todas partes, lo cual satisface la función Dirichlet.

Por otro lado, la integral superior de la función de Dirichlet es $b-a$ mientras que la integral inferior es $0$ . No coinciden, así que la función no es integrable por Riemann.

Me siento confundido sobre qué explicación debo elegir...

Answer 1

La función Dirichlet $f$ no es continua en ninguna parte. Para cada número irracional $x$ hay una secuencia de números racionales $\{r_n\}$ que converge a ella. Tenemos: $$\lim_{n\to\infty} f(r_n) = 1 \ne 0 = f(x)$$

Así, $f$ no es continua en los números irracionales. Los números racionales se pueden manejar de manera similar.

Answer 2

La función de Dirichlet no es continua en ninguna parte, ya que tanto los números irracionales como los racionales son densos en todo intervalo $[a,b]$ . En cada intervalo el supremum de $f$ es $1$ y el infimo es $0$ por lo que no es integrable de Riemann.

Answer 3

Existen dos definiciones diferentes de la función Dirichlet:

$$D(x) = \begin{cases}1:& x\in\mathbb Q \\ 0:&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}$$

que obviamente no es continua en ninguna parte. Y luego está la versión "reducida", también conocida como La función de Thomae

$$D(x) = \begin{cases} \frac{1}{b}:& x=\frac{a}{b}\in\mathbb Q \quad\text{is a reduced fraction} \\ 0:&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}$$

que resulta ser continua en los irracionales, ya que cualquier aproximación de un número irracional por racionales obliga a que el denominador se haga grande. Se puede demostrar que la primera no es integrable por Riemann mientras que la segunda sí lo es y su integral desaparece.

Answer 4

La función Dirichlet $f : [0, 1] → \mathbb R$ se define por

$$f(x) = \begin{cases} 1, & x ∈ \mathbb Q \\ 0, & x ∈ [0, 1] - \mathbb Q \end{cases}$$

Eso es, $f$ es uno en cada número racional y cero en cada número irracional. Esta función no es integrable de Riemann. Si $P = \{I_1, I_2, . . . , I_n\}$ es una partición de [0, 1], entonces $M_k = \sup I_k = 1, m_k = \inf I_k = 0$ , ya que todo intervalo de longitud no nula contiene tanto números racionales como irracionales. De ello se deduce que $U(f; P) = 1, L(f; P) = 0$ para cada partición $P$ de $[0, 1]$ Así que $U(f) = 1$ y $L(f) = 0$ no son iguales. La función de Dirichlet es discontinua en cada punto de $[0, 1]$ y la moraleja del último ejemplo es que la integral de Riemann de una función altamente discontinua no tiene por qué existir.