La "función Dirichlet" es la función característica de los números racionales en $[a,b] \subset\mathbb {R}$ .
Por un lado, una función en $[a,b]$ es Riemann integrable si y sólo si es limitado y continuo casi en todas partes, lo cual satisface la función Dirichlet.
Por otro lado, la integral superior de la función de Dirichlet es $b-a$ mientras que la integral inferior es $0$ . No coinciden, así que la función no es integrable por Riemann.
Me siento confundido sobre qué explicación debo elegir...
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La función Dirichlet no es continua en ninguna parte...
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"Igual a una función continua en casi todas partes" $\ne$ "continua en casi todas partes".
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Es continuo en ninguna parte.