¿Por qué puede ' t cualquier término que se añade a la lagrangiana escribirse como una derivada total (o divergencia)?

Question

Bien, sé que debe haber una primaria prueba de ello, pero no estoy seguro de por qué nunca me encontré con él antes.

La adición de un tiempo total de derivados para el Lagrangiano (o 4D divergencia de algunos de los 4 vectores en la teoría de campo) no cambia la dinámica debido a que la variación puede ser asumida como cero en el límite e integrado de distancia.

Pero no veo por qué cualquier función arbitraria (siempre y cuando se porta bien, no hay discontinuidades, etc.) no puede ser escrito como un total de derivados (o 4D divergencia). De hecho, sé que cualquier agradable función escalar en 3D puede ser escrito como un 3D divergencia de algunos vectores de campo, ya que para cualquier 3D de la distribución de carga, existe un campo eléctrico cuya divergencia es igual a la función de carga debido a la Ley de Gauss.

Pero si puedo escribir cualquier función como un total de derivados (o divergencia de algunos vectores) de lo que se puede añadir alguna función para el lagrangiano y obtener la misma dinámica, lo que significa que el lagrangiano es completamente arbitraria, que no tiene ningún sentido en absoluto.

Así que mi pregunta es, ¿por qué no puede una función arbitraria (siempre y cuando se porta bien, no hay discontinuidades, etc.) ser escrito como una total derivado de alguna otra función (o divergencia de un vector)?

Answer 1

Supongamos por simplicidad consideremos clásico punto de la mecánica (es decir, un $0+1$ mundo dimensional de volumen) con una única variable $q(t)$. (La generalización de la clásica teoría del campo en un $n+1$ mundo dimensional volumen con varios campos es sencillo.)

Permítanos reformular el título(v1) de la siguiente manera:

¿Por qué no puede el Lagrangiano $L$ siempre ser escrito como una total derivado $\frac{dF}{dt}$?

En resumen, es porque:

1. En la física, la acción funcional $S[q]$ debe ser local, es decir, de la forma $S[q]=\int dt~L$, donde el $L$ es una función de la forma $$L~=~L(q(t), \dot{q}(t), \ddot{q}(t), \ldots, \frac{d^Nq(t)}{dt^N};t),$$ y donde $N\in\mathbb{N}_{0}$ es algo de orden finito. (En la mayoría de las aplicaciones de la física $N=1$, pero esto no es importante en lo que sigue. Tenga en cuenta que el de Euler-Lagrange las ecuaciones conseguir modificado con mayor orden de los términos, si $N>1$.)

2. Del mismo modo, exigimos que $F$ es de local de forma $$F~=~F(q(t), \dot{q}(t), \ddot{q}(t), \ldots, \frac{d^{N-1}q(t)}{dt^{N-1}};t),$$ Insistimos en que $L$ $F$ sólo se refieren al mismo instante de tiempo $t$. En otras palabras, si $t$ es ahora, a continuación, $L$ $F$ no depende de el pasado ni el futuro.

3. El especial intermedios papel desempeñado por la $q$ variable entre $L$$t$. Tenga en cuenta que puede ser implícita y explícita de dependencia de tiempo de $L$$F$.

Contraejemplo: Considerar La Posibilidad De

$$L~=~-\frac{k}{2}q(t)^2.$$ Entonces podemos escribir $L=\frac{dF}{dt}$ como un tiempo total de derivados mediante la definición de

$$F=-\frac{k}{2}\int_0^t dt'~q(t')^2. $$

($F$ es único hasta un funcional K[q] que no dependen de $t$.) Pero $F$ es no en forma local, ya que también depende del pasado $t'<t$.

Por último, vamos a mencionar que uno puede demostrar que (todavía bajo la asunción de la localidad, en el anterior sentido) que

$$ \text{The Lagrangian density is a total divergence} $$ $$\Updownarrow$$ $$\text{The Euler-Lagrange equations are identically satisfied}. $$

Answer 2

Lagrange es un funcional de tiempo, la generalización de las coordenadas, y el tiempo derivado de coordenadas generalizadas. Obviamente muchos de los escalares no son tiempo total derivados; $q^2$ por ejemplo.

Como para la densidad Lagrangiana, tenga en cuenta que es el funcional de las variables de campo de $\phi_i(x^\mu)$ y sus derivados $\partial_\mu \phi_i(x^\mu)$. No es una función de composición de coordenadas $\boldsymbol{x^\mu}$. Así la arbitrariedad de la función escalar, en la forma de una divergencia, en realidad no importa, porque la función de las coordenadas, que es independiente de las variables de campo.

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La prueba de que $q^2$ no puede ser reescrito como tiempo total de derivados:

El tiempo total derivada de cualquier función $$F(q,\dot q,t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(q,t)=\frac{\partial f}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial f}{\partial t},$$

automáticamente satisface Euler-Lagrange ecuación (fácil de probar por sustitución) $$\frac{\partial F}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}=0.$$

$q^2$ no cumple la condición anterior, por lo que no puede ser escrito como el tiempo total de derivados.

Answer 3

La razón de esto es bastante simple. Permítanme considerar el caso simple de un movimiento de dimensiones (la generalización de ser trivial). El Lagrangiano es una función de las coordenadas generalizadas y (posiblemente) tiempo $L=L(q,\dot{q},t)$. Las ecuaciones de movimiento son obtenidas por hacer de la acción $S$ extremal

$\delta S[q]=0$,

donde $S[q]=\int_{t_{1}}^{t_2} L(q,\dot{q},t) dt$.

Ahora vamos a añadir a la de Lagrange cualquier función arbitraria $G=G(q,t)$ tal que

$G(q,t)=\dfrac{dF(q,t)}{dt}$.

Si la función de $G(q,t)$ es Riemann-integrable en [acotada y continua salvo en un conjunto de medida cero], entonces siempre se puede encontrar $F(q,t)$. Este es el caso de la mayoría de las funciones que son de interés para los físicos. Por lo tanto

$L'(q,\dot{q},t)=L(q,\dot{q},t)+G(q,t)$,

$S'[q]=S[q] + \int_{t_1}^{t_2}G(q,t) = S[q] +F(q(t_2),t_2)-F(q(t_1),t_1)$,

desde cuando hacer una variación que imponer ese $q(t_1)$ $q(t_2)$ son fijos. Así nos encontramos con que hemos añadido un término constante a la de Lagrange y por lo tanto

$\delta S'[q]=\delta S[q]$,

de modo que las ecuaciones de movimiento son invariantes a la izquierda.

Usted dice:

"...lo que significa que el lagrangiano es completamente arbitraria, que no tiene ningún sentido en absoluto..."

De hecho, la función de Lagrange es "arbitrario" en el sentido de que, respetando ciertas simetrías, tiene que dar la correcta ecuaciones del movimiento cuando la acción funcional es extremal.

Answer 4

Comencé a tratar de responder a esta, a continuación, encontrar un sitio web que hizo un mejor trabajo que pude, así que aquí está: http://en.wikibooks.org/wiki/Classical_Mechanics/Lagrange_Theory#Is_the_Lagrangian_unique.3F

Esto es realmente un comentario, pero lo tengo un poco implicado en una caja de comentarios:

Comience con el Langrangian para una partícula libre $L_{Free}$ y añadir a ésta una función de $G$ definido por:

$$G = L_{SHO} - L_{Free}$$

donde $L_{SHO}$ es el de Lagrange para un oscilador armónico simple. Puede $G$ ser escrito como un tiempo total diferencial. Si se puede, la acción de una partícula libre no es modificado por la adición de $G$ a la de Lagrange, y tenemos que concluir que la acción de una partícula libre es el mismo que el de la acción para un oscilador armónico simple. Ya que esto no es el caso que sugiere $G$ no puede ser escrito como un tiempo total diferencial.

La función de $G$ es, evidentemente,$-kx^2$. Traté de encontrar una función $F(x, t)$ tal de que el tiempo total de derivados se $-kx^2$ pero sin suerte, que no necesariamente demostrar nada.