¿Complejo valores propios de una matriz real implica una dilatación de rotación?

Question

Esto es parte de una mayor prueba de que si existe un conjunto compacto, $K \subset \mathbb R^n$ de manera tal que la transformación lineal $L$ mapas de $K$ en su interior, los autovalores $\lambda_i$ son todos de valor absoluto menor que 1. Claramente, si $L(K)\subset \operatorname{int}(K)$$L^n(K)\subset \operatorname{int}(K)$.

El caso más fácil parece ser: Si el autovalor fueron un $n$th raíz de la unidad, a continuación, $L^n$ debe tener algún punto fijo en el límite, una contradicción.

No puedo ni siquiera parecen probar que para los complejos autovalores de valor absoluto mayor que $1$ o de los autovalores de valor absoluto $1$ que no son las raíces de la unidad.

Mis intentos: 1) Decir $|\lambda|>1$ entonces parece $L$ tomaría los vectores de descuento hasta el infinito. Sin embargo, me preocupa no es un caso donde la $L$ toma algún vector, se alarga, y la asigna a algún otro vector, y en la siguiente iteración se deshace, o algo así.

2) Decir $|\lambda|=1$. Si una transformación lineal en $\mathbb R^n$ tiene un par de autovalores complejos de valor absoluto 1 (pero no de las raíces de la unidad), es cierto que esto siempre corresponde a una rotación sobre un subespacio de dos dimensiones? Si es así, entonces parece que este es un sistema irracional de rotación. A fin de comenzar con algún punto en el límite de $K$ que está en el subespacio de rotación, a continuación, busque en el infinito de la unión de $L^i(K)$$i>1$. El punto original es un punto límite de esta unión, y desde $K$ era compacto y desde $L$ es continua, ya que es un finito dimensional lineal operador, $L^i(K)$ son todos compacto....pero esto no es bueno porque ahora el punto es el punto límite de una infinita unión de conjuntos compactos que no puede ser compacto y por lo tanto no necesita contener su límite de puntos. Pero si lo hizo contener este punto esto sería una contradicción.

Por favor y gracias por ayudar :D

Answer 1

Voy a tratar de formular de una manera que no dependen del hecho de que el real $n$espacio tridimensional $V$ sido puesta en es $\Bbb R^n$, en otras palabras no dependen de la elección de una base en la $V$.

Deje $\def\C{\Bbb C}V_\C$ ser la complejización de la $V$, que es un espacio vectorial complejo construido a partir de la real espacio vectorial $V\oplus V$ mediante la definición de la multiplicación por $\def\ii{\mathbf i}\ii\in\C$$\ii\cdot(v,w)=(-w,v)$, y deje $L_\C:V_\C\to V_\C$ ser la complejización de la $L$, definido por $L_\C(v,w)=(L(v),L(w))$ (es claramente complejo-lineal). Ahora $L_\C$ tan complejo lineal mapa tiene el mismo polinomio característico como $L$ tiene como real-lineal mapa (de hecho, sobre las bases que tienen las mismas matrices), por lo que para cada complejo autovalor $\lambda=a+b\ii$ $L$ correspondiente autovector en $(v,w)\in V_\C$. Esto significa que $$ (L(v),L(w))=(a+b\ii)(v,w)=(av-bw,bv+aw). $$ Uno ve que $v,w\in V$ debe $\Bbb R$-linealmente independientes en el caso de $\lambda\notin\Bbb R$ de interés aquí, que es $b\neq 0$: suponiendo $cv+dw=0$ y la aplicación de $L$ después de la simplificación $b(-cw+dv)=0$, lo $dv-cw=0$, y la formación de combinaciones lineales con la supuesta relación da $(c^2+d^2)v=0$$(d^2+c^2)w=0$, lo que contradice $(v,w)\neq(0,0)$. Por lo que el $\Bbb R$-subespacio $\langle v,w\rangle_\Bbb R\subseteq V$ $2$ dimensiones y $L$-estable, con la restricción de $L$ a dado por la matriz $$ \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}. $$

Supongo que esto le da lo que pide en el título.

Para la "más grande" a prueba deberá modificar la declaración de la primera a excluir de tomar el conjunto vacío para $K$.

Answer 2

1. Si $\lambda$ es un autovalor de una verdadera matriz $A$, entonces tiene un valor distinto de cero (complejo) autovector $v$ correspondiente a la misma.
2. Si $v$ es verdadera, entonces también lo es $\lambda$, y la vamos a hacer, porque si tuviéramos $\lvert \lambda\rvert\geq 1$, habría un punto en $K$ que explota en el infinito con $A^n$, o un punto fijo de $A^2$ $K$'s de la frontera (esto es debido a que $K$ debe contener una pelota alrededor de $0$).
3. De lo contrario, es fácil ver que, a continuación, $\overline v$ corresponde a $\overline \lambda$ (debido a $\overline A=A$$\overline{Av}=\overline{\lambda v}$).
4. Además, podemos suponer que las $v+\overline v$ es un cero real de vectores (igual al doble de la parte real de la $v$). De lo contrario, $v$ sería puramente imaginario, $iv$ sería un verdadero vector propio correspondiente a $\lambda$, por lo que podemos utilizar el mismo argumento como el anterior.
5. A partir de ahora, vamos a considerar sólo a las restricciones de $A$ $K$ a que el avión se extendió por partes real e imaginaria de $v$. Podemos suponer que $v=(1,i)^T$, otras coordenadas cero (por el cambio de coordenadas si es necesario).
6. Entonces tenemos que $A^n(v+\overline v)=\lambda^nv+\overline\lambda^n\overline v$, igualmente para $-i(v-\overline v)$; elija $r,\theta$, de modo que $\lambda=re^{i\theta}$. Usted puede ver por la inspección que el $A^n$ es una dilatación por $r^n$, seguido por una rotación por $n\theta$. Esto significa que si $r\geq 1$, luego sopla de algunos puntos en $K$ hasta el infinito, o mantiene los puntos de distancia máxima de $0$ sobre el círculo al que pertenecen, tanto produciendo una contradicción.

Answer 3

Aquí hay unas ideas. Deje $x_0=\arg\min_{x\in K}\|x\|_2$. Teniendo en cuenta la secuencia de $x_n=L^nx$, podemos ver que $\{x_n\}$ tiene un convergentes larga y en vez de $L$ tiene un punto fijo $u$ en el interior de $K$. Esta $u$ debe ser el origen. De lo contrario, como $L$ es lineal, el más lejano límite de punto de $K$ en el lapso de $u$ es también un punto fijo de $L$, lo cual es una contradicción con el problema de la asunción.

Ahora, definir $K'=\{x\circ z:\, z=(z_1,\ldots,z_n)^T\in\mathbb{C}^n,\, |z_j|=1\ \forall j\,\}$ donde $x\circ z$ denota la Hadamard (es decir, entrywise) producto de $x$$z$. A continuación, $K'$ es un conjunto compacto en $\mathbb{C}^n$ y la extensión natural de $L$ $\mathbb{C}^n$mapas de $K'$ en su interior. Si $(\lambda,v)$ es un eigenpair de $L$$\mathbb{C}$, considerando el límite más lejano punto de $K'$ en la línea se extendió por $v$, podemos ver que $|\lambda|<1$.