Una vez en un tiempo, tuve que trabajar con las funciones que tiene la siguiente expansión en series de Taylor: $$ t_m(x)=1-\frac{x^m}{m.}+\frac{x^{2m}}{(2m)!}+\cdots =\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{km}}{(km)!}. $$ Conectar $m=2$ esta es, obviamente, la expansión en series de Taylor para $\cos(x)$. Ahora he encontrado el siguiente agradable fórmula para obtener una cerrada fórmula para que esto funciones, que es (como se ha demostrado aquí): $$ t_m(x)=\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1} \exp( e^{i\frac{2k+1}{m}\pi}x ) $$ y de nuevo es obvio que para $m=2$ conseguiré $\displaystyle\frac{e^{i\pi x}+e^{-i\pi x}}{2}=\cos(x)$. También es fácil ver que $\displaystyle\frac{d(t_m)^m}{dx^m}=-t_m$.
Y ahora tengo 2 preguntas:
Hacer estas funciones tienen un nombre y cualquier aplicación? Un posible uso sería en la solución de $m$th orden de la ecuación diferencial sobre $\mathbb{R}$.
Cuando le pregunto a Wolfram para las raíces, si $m=4$, I se $x_n=\frac{2\pi n + \pi}{\sqrt{2}}$ (y también a $i\cdot x_n$). Preguntar por otros $m\neq2,4$, I (hasta ahora) acaba de obtener valores numéricos. Se cerró fórmulas para las raíces en todo caso de $m$. ¿Tienen una interpretación geométrica?
