¿$i$ De dónde viene en la ecuación de Schrödinger?

Question

Actualmente estoy tratando de seguir Leonard Susskind del "Mínimo Teórico" de la serie de conferencias sobre la mecánica cuántica. (Yo sé un poco de álgebra lineal y cálculo, hasta el momento parece sin duda lo suficiente para seguir este curso, aunque no tengo ni la física de la universidad de la educación.)

En general, me parece que estas conferencias se centran demasiado en las matemáticas y no en la realidad física de la motivación detrás de él, pero que así sea (si hay otros cursos dirigidos a aquellos con razonable de las habilidades matemáticas que se centran más en el significado físico, hágamelo saber!). Sin embargo, eso es sólo indirectamente relacionado con lo que mi pregunta es acerca de.

En la Lección 4, justo después de 40 minutos de duración, marca, Susskind establece para derivar una expresión para lo que antes había calificado el tiempo de desarrollo de operador $U$:

$$|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle$$

Comienza como tal:

$$U(\epsilon) = I + \epsilon H$$

lo cual tiene sentido porque el cambio en el tiempo tendrá que ser pequeña, es decir, en el orden de un pequeño $\epsilon$. Sin embargo, él va por delante y de los cambios en:

$$U(\epsilon) = I - i\epsilon H$$

que por supuesto está todavía bien, porque todavía no sabemos lo $H$ se supone debe ser. Ahora mi problema radica en el hecho de que Susskind, a continuación, se procede a derivar una expresión para $H$ y, posteriormente, la ecuación de Schrödinger en las que figura, a partir de la ecuación anterior. El $i$ nunca se pierde y termina en la ecuación.

No tan fácilmente han dejado el$i$, o poner un 6 o lo que sea no? Por qué poner a $i$ no? He terminado toda la conferencia con la esperanza de Susskind iba a volver a esto, pero él nunca lo hace, por desgracia. (Que es, supongo, otro síntoma de este curso, con el que estoy bastante contento, en ocasiones carecen de física de la motivación.)

1. Para aquellos de ustedes que conocen de este ciclo de conferencias, o similares, estilos de enseñanza: ¿me estoy perdiendo algo aquí?

2. Alternativamente, una respuesta general de por qué hay un $i$ en el de Hamilton y la ecuación de Schrödinger?

Answer 1

Deje $U$ ser un operador unitario. Escribir $$ U=\mathbb I+\epsilon Una $$ para algunos $\epsilon\in\mathbb C$, y algunos operador $A$.

Unitarity significa $U^\dagger U=\mathbb I$, es decir, $$ U^\daga U=(\mathbb I+\epsilon^*^\daga)(\mathbb I+\epsilon A)=I+\epsilon^*^\daga+\epsilon+\mathcal O(\epsilon^2) $$

Por lo tanto, si $U^\dagger U=\mathbb I$, debemos tener $$ \epsilon^*^\daga+\epsilon=0 $$

¿Cómo podemos lograr esto? Siempre podemos redefinir tanto $\epsilon$$A$, de modo que $\epsilon$ es real. Si usted hace esto, obtenemos $A^\dagger=-A$, es decir, $A$ es anti-hermitian. En principio, esto es perfectamente válido, pero podemos hacerlo mejor.

Si elegimos $\epsilon$ imaginario, obtenemos $A^\dagger=A$. Nos gusta esta opción mejor, porque nos gusta hermitian operadores. Si $A$ a ser identificado con el Hamiltoniano, es mejor que tenga $\epsilon$ imaginario, porque de lo contrario $H$ no puede ser hermitian (es decir, observable).

Tenga en cuenta que Susskind escribe $U=\mathbb I-i\epsilon H$ en lugar de $U=\mathbb I+i\epsilon H$. Este signo negativo es sólo convención, es lo que todo el mundo hace, pero en principio podría ser un $+$ signo. Este signo no afecta a la física (pero debemos ser coherentes con nuestra elección). Esto es similar a ciertos educación a distancia en la mecánica clásica (impulsado oscilador armónico, circuitos RLC, etc), donde usamos el ansatz $x(t)=\mathrm e^{-i\omega t}$, con un signo de menos, por razones históricas.

Por lo tanto, incluimos el factor de $i$$U$, y terminamos con la ecuación de Schrödinger. Si no hubiéramos incluido el $i$, habríamos $$ \frac{\partial\psi}{\partial t}=\nabla^2\psi $$ donde puedo tomar $\hbar=2m=1$ $V=0$ para simplificar el análisis (esto no cambia las conclusiones). Tenga en cuenta que esta es la ecuación del calor. La solución general de la ecuación del calor es

$$ \psi(x,t)=\int\mathrm dy\ \frac{\psi(x,0)}{\sqrt{4\pi t}}\mathrm e^{-(x-y)^2/4t} $$

No importa lo $\psi(y,0)$ es, esta solución no es la propagación, no oscilatorio y decae en el tiempo. Por lo tanto, las "partículas" descrito por la ecuación del calor no se mueva, y que poco a poco desaparecer! (por ejemplo, "estacionaria" las soluciones son de la forma $\psi(x,t)=\mathrm e^{-Et}\phi(x)$, que va de cero $t\to \infty$).

También, si no fuera por la $i$ en la ecuación de Schrödinger, $\int\mathrm dx\ |\psi(x,t)|^2$ no estaría de tiempo indepdendent, por lo que el total probabilidad habría de cambiar en el tiempo, y esto no tiene ningún sentido. Por lo tanto, el $i$ en la ecuación de Schrödinger hace que el Nacido interpretaton de la función de onda sea posible!

Algunas cosas que usted puede ser que desee comprobar hacia fuera:

• Continua de los Grupos, la Mentira Grupos y Álgebras de Lie, por ejemplo en http://www.cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter7.pdf

• El teorema de Wigner: simetrías se realiza a través de la lineal/unitario operadores, o a través de antilinear/antihermitian operadores.

• Traducción del operador: en la mecánica cuántica (y en la mecánica clásica, así, en un sentido), espacio/tiempo, las traducciones son representados a través de operadores unitarios, donde los generadores de este tipo de operaciones son la energía/el impulso de los operadores.

• Teorema espectral: Hermitian operadores tienen real de los autovalores.

• El Principio del Máximo de la ecuación del calor: si $\psi(x,t)$ resuelve la ecuación del calor y $t_2>t_1$,$\psi (t_2,x)\le \psi(t_1,y)\ \forall x,y$, lo que significa que $\psi$ "disminuye" en el tiempo (por lo tanto, la probabilidad "se destruye", o "partículas de desaparecer").

• Schrödinger frente calor ecuaciones

Answer 2

En general, el $i$ no hay: podemos definir el tiempo de evolución para ser $e^{tK}$, pero, a continuación, $K$ anti-hermitian. Realmente no hace ninguna diferencia. Supongo que es más conveniente tratar de hermitian operadores, por lo que la gente acaba de producirse un $i$: $$K=iH.$$ En cuanto a por qué Hermitian operadores son más agradables a tratar, tenga en cuenta que Dirac amada bra-ket de sándwiches con este operador $K$, todo QM, sería un poco más ambiguo: que nos iba a llegar sin sentido expresiones como $$\left<\psi\right|K\left|\psi\right>=\left<\psi\right|-K\left|\psi\right>$$ Y así obtendríamos signos menos, dependiendo de si estamos actuando en la izquierda o en la derecha. Es simplemente más fácil tener una hermitian operador de torno.

Answer 3

Mi afloja-goosey intuición de por qué el $i$ aparece en Schrödinger, ecuación se reduce a que el logaritmo de una matriz unitaria ser $i$ veces un Hermitian de la matriz, y ecuaciones diferenciales tienden a exponentiate cosas.

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Todos cuántica operaciones unitarias (además de la medición, dependiendo de su favorito de la interpretación). Unitario matrices tienen un buen montón de propiedades. En particular, su eigendecomposition ha perpendicular a los vectores propios con los valores propios de la unidad compleja del círculo. Simbólicamente:

$$\begin{align} U=&\sum_{k} e^{i\theta_k} \left|v_k\right\rangle \left\langle v_k \right| \end{align}$$

Donde cada una de las $\theta_k$ entre $0$$2 \pi$, y el $v_k$'s son todos mutuamente perpendiculares.

Si desea convertir una matriz unitaria en una acción continua en el tiempo, usted necesita para interpolar. Usted podría hacer por elevar a una potencia fraccionaria como $U_t = U^t$, o mediante la ampliación de su logaritmo en una exponencial como $U_t = e^{t \ln(U)}$. Vamos a usar el logaritmo enfoque porque es más elegante, y más útil para ecuaciones diferenciales (*tos* *tos*).

Porque tenemos una eigendecomposition para $U$ en términos de $e^\text{whatever}$, el logaritmo tiene una muy buena forma. La fase de factores de ángulos desplegable:

$$\begin{align} \ln(U)&= \ln\sum_{k} e^{i\theta_k} \left|v_k\right\rangle \left\langle v_k \right| \\&= \sum_{k} \ln(e^{i\theta_k}) \left|v_k\right\rangle \left\langle v_k \right| \\&= \sum_{k} i \theta_k \left|v_k\right\rangle \left\langle v_k \right| \\&= i \sum_{k} \theta_k \left|v_k\right\rangle \left\langle v_k \right| \\&= i H \end{align}$$

Aquí hemos definido a $H$ en términos de un eigendecomposition con perpendicular a los vectores a escala real de los autovalores. Por lo tanto, $H$ es Hermitian. Así que el logaritmo de una matriz unitaria es $i$ veces un Hermitian de la matriz, y nuestro interpolación por exponentiating-a-escala-logaritmo se convierte en:

$$U_t = e^{t \ln(U)} = e^{i t H}$$

Si estaban prestando atención, vieron donde el $i$ vino.

• Lo que inicialmente parecía, porque unitario matrices sólo se aplican en la fase factores a sus vectores propios, por lo que sus autovalores son como $e^{i \theta_k}$.
• Cuando calculamos el logaritmo, para interpolar la central unitaria de la matriz del efecto, el $i$ caído de la exponencial y escapó de la suma.
• La suma restante fue un Hermitian de la matriz.

Ya que queremos que nuestros ecuación diferencial tener unitaria de las soluciones, y ecuaciones diferenciales tienden a exponentiate cosas, es mejor que poner $i$ veces un Hermitian matriz de allí.

Answer 4

1. $i$ Se deriva de la ecuación de la incertidumbre de Heisenberg.

2. En cuanto a la importancia de la $i$ estar allí, demuestra matemáticamente "que una parte muy real del futuro depende una parte imaginaria del presente".