Diagonalización de la matriz en SU(2) y SO(3)

Question

Actualmente estoy utilizando el libro de Nadri Jeevanjee sobre teoría de grupos para físicos para entender la mecánica cuántica. Me encontré con estas dos páginas que me dejó atascado:

Ejemplo 4.19 $SU(2)$ y $SO(3)$

En la mayoría de los libros de texto de física la relación entre $SO(3)$ y $SU(2)$ se describe en términos de los "generadores infinitesimales" de estos grupos. Discutiremos las transformaciones infinitesimales en la próxima sección y haremos contacto con la presentación estándar de la física entonces; aquí presentamos la relación en términos de un homomorfismo de grupo $\rho:SU(2)\to SO(3)$ definido de la siguiente manera: considere el espacio vectorial (¡compruebe!) de todos los $2\times2$ matrices antihermitianas sin rastro, denotadas como $\mathfrak{su}(2)$ (por razones que explicaremos más adelante). Se puede comprobar que un elemento arbitrario $X\in\mathfrak{su}(2)$ puede escribirse como $$ X=\frac12 \begin{pmatrix} -iz & -y -ix \\ y-ix & iz \end{pmatrix},\quad x,y,z\in\mathbb R\tag{4.39} $$ Si tomamos como base los vectores \begin{align} S_x&=-\frac i2\sigma_x=\frac12 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix} \\ S_y&=-\frac i2\sigma_y=\frac12 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ S_z&=-\frac i2\sigma_z=\frac12 \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \\ \fin{align} entonces tenemos $$X=xS_x + y S_y + z S_z$$ por lo que el vector columna correspondiente a $X$ en la base $\mathcal B = \{ S_x, S_y, S_z\}$ es $$[X] = \begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix}.$$

Tenga en cuenta que $$\det X = \frac14\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac14\|X\|^2$$ por lo que el determinante de $X\in\mathfrak{su}(2)$ es proporcional a la norma al cuadrado de $[X]\in\mathbb R^3$ con la métrica euclidiana habitual. Ahora se comprobará a continuación que $A\in SU(2)$ actúa sobre $X\in\mathfrak{su}(2)$ por el mapa $X\mapsto AXA^\dagger$ y que este mapa es lineal. Por lo tanto, este mapa es un operador lineal sobre $\mathfrak{su}(2)$ y puede representarse en la base $\mathcal B$ por un $3\times 3$ matriz que llamaremos $\rho(A)$ para que $[AXA^\dagger]=\rho(A)[X]$ donde $\rho(A)$ actúa sobre $[X]$ mediante la multiplicación matricial habitual. Además, $$\left\|\rho(A)[X]\right\| = \left\|[AXA^\dagger]\right\|^2 = 4 \det(AXA^\dagger) = 4 \det X = \left\|[X]\right\|^2 \tag{4.40}$$ para que $\rho(A)$ preserva la norma de $X$ . Esto implica (véase el ejercicio 4.19) que $\rho(A)\in O(3)$ y, de hecho, se puede demostrar 13 que $\det \rho(A) = 1$ para que $\rho(A)\in SO(3)$ . Así, podemos construir un mapa \begin{align} \rho: SU(2) & \to SO(3) \\ A & \mapsto \rho(A) \end{align}

Además, $\rho$ es un homomorfismo, ya que \begin{align} \rho(AB)[X] & = \left[(AB)X(AB)^\dagger\right] = \left[AB X B^\dagger A^\dagger\right] =\rho(A) \left[BXB^\dagger\right] \\ & = \rho(A)\rho(B)[X] \tag{4.41} \end{align} y por lo tanto $\rho(AB) = \rho(A)\rho(B)$ . Es $\rho$ ¿un isomorfismo? Se puede demostrar 14 que $\rho$ es onto pero no one-to-one, y de hecho tiene kernel $K=\{I,-I\}$ . De la discusión que precede a este ejemplo, sabemos entonces que $\rho(A)=\rho(-A)\ \forall A\in SU(2)$ (este hecho también se desprende de la definición de $\rho$ ), por lo que para cada rotación $R\in SO(3)$ se corresponden exactamente con dos matrices en $SU(2)$ que se asignan a $R$ en $\rho$ . Por lo tanto, al tratar de aplicar una rotación $R$ en una vuelta $1/2$ partícula tenemos dos opciones para el $SU(2)$ matriz que utilizamos, y a veces se dice que el mapa $\rho^{-1}$ es de doble valor . Sin embargo, en términos matemáticos no se suele hablar de funciones con valores múltiples, por lo que decimos que $SU(2)$ es el doble tapa de $SO(3)$ ya que el mapa $\rho$ es sobre ('tapa') y dos a uno ('doble').

Tengo lo siguiente preguntas:

1. Anteriormente me han presentado el proceso de diagonalización de las matrices. Lo que no entiendo es, en este caso, qué es lo que se diagonaliza, $X$ o $A$ ?

2. Es la matriz final en $SO(3)$ o $SU(2)$ ?

3. ¿Corresponde este proceso de diagonalización a un cambio de base y, si es así, qué sentido tiene el cambio de bases?

4. A qué cartografía corresponde $X$ siendo representado como un vector en la base $\{S_x,S_y,S_z\}$ ?

5. Además, no entiendo qué significa el mapeo 2 a 1.

6. También entiendo que $X$ es un álgebra de Lie y para encontrar su grupo de Lie hay que exponerlo: $e^{X}$ He leído en un libro de matemáticas que este proceso también implica la diagonalización. Pero no entiendo todo el proceso y la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie. ¿Por qué es necesario cambiar entre las dos?

Answer 1

Aquí no se está diagonalizando nada. El pasaje que citas sí utiliza la notación $$ AXA^\dagger = AXA^{-1} $$ (ya que $A$ es unitaria), que sí aparece a menudo en los problemas de diagonalización, pero la transformación es mucho más amplia que eso. Este tipo de transformación, $$ A\mapsto BAB^{-1}, $$ se conoce como transformación de similitudes matriciales y dos matrices $A$ y $C$ se dice que son similar si y sólo si existe una matriz invertible $B$ tal que $C=BAB^{-1}$ .

La diagonalización es el proceso de tomar una matriz $A$ y encontrar una matriz $C$ que es similar a $A$ y también diagonal.

Sin embargo, los usos de la similitud como relación y transformación van mucho más allá de la simple diagonalización: en esencia, dos matrices son similares si y sólo si representan el mismo mapa lineal en dos bases diferentes. Como tal, la similitud preserva una amplia gama de propiedades de las matrices (bien resumidas en el enlace de la Wikipedia más arriba), que es parte de lo que hace que la relación sea tan útil.

Answer 2

La estructura del álgebra de Lie de $su(2)$ es totalmente irrelevante aquí; todo lo que importa es que $su(2)$ es un espacio vectorial real tridimensional, así que empieza por olvidarte de las álgebras de Lie.

Un elemento $A\in SU(2)$ actúa sobre ese espacio vectorial tridimensional mapeando $X$ a $AXA^{-1}$ .

Por lo tanto, un elemento $A\in\pmatrix{P&Q\cr -\overline{Q}&\overline{P}\cr}$ en $SL(2)$ puede representarse como una matriz real de 3 por 3 $\rho(A)$ . Sería un muy muy buen ejercicio para que escribas una fórmula explícita para $\rho(A)$ en términos de $P$ y $Q$ --- no es que el resultado final sea importante, pero esto fijará en tu cabeza exactamente lo que está pasando aquí. Empieza, por supuesto, calculando cómo $A$ actúa sobre cada uno de los tres vectores base conocidos para $su(2)$ ; esas son las columnas de $\rho(A)$ .

Por último, compruebe que $\rho(A)$ está en $SO(3)$ , por lo que has mapeado $SU(2)$ a $SO(3)$ . Será obvio que $A$ y $-A$ van al mismo lugar, por lo que el mapeo es (al menos) de dos a uno. Puedes comprobar además que es exactamente dos a uno.

Siguiente paso opcional: Fijar en tu cabeza la idea de que nada sobre $su(2)$ importa, excepto por su tridimensionalidad, identificar $A$ con el cuaternión $P+Qj$ y que actúe sobre el espacio vectorial real tridimensional de cuaterniones imaginarios puros mediante conjugación. Este es un camino diferente para el mismo resultado, y claramente no tiene nada que ver con las álgebras de Lie.

Por último, no entiendo ninguna de tus preguntas sobre la diagonalización ni por qué tienes tantas ganas de diagonalizar algo. Ya que eres tú el que pone la diagonalización sobre la mesa, sólo tú puedes saber qué quieres diagonalizar o por qué.

Answer 3

1. En pocas palabras, el primer punto principal es que (hasta algunas constantes convencionales) existe un isomorfismo isométrico del álgebra de Lie $X\mapsto [X]$ entre

   • el álgebra de Lie tridimensional $(su(2),[\cdot,\cdot],\det(\cdot))$ de los anti-Hermitianos sin rastro $2\times 2$ matrices equipadas con el determinante como un cuadrado de la norma, y

   • el espacio 3D $(\mathbb{R}^3, \times, |\cdot|^2)$ equipado con el estándar producto vectorial cruzado y el cuadrado de la norma estándar.

   (La estructura del álgebra de Lie no juega ningún papel en lo que sigue, por lo que es suficiente pensar en el mapa $X\mapsto [X]$ como un isomorfismo de espacio vectorial isométrico).

2. El segundo punto crucial es ahora que para cada elemento del grupo $A\in SU(2)$ el mapa $\rho(A):\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ (que Nadri Jeevanjee define más arriba) es un isometría . Por lo tanto, es un transformación ortogonal en el espacio 3D $\mathbb{R}^3$ que puede ser representado por un $3\times3$ matriz ortogonal (donde utilizamos la base ortonormal estándar en $\mathbb{R}^3$ ). En otras palabras, el mapa $\rho$ es un mapa de $SU(2)$ a $O(3)$ .

3. Lo anterior se puede ajustar ahora para mostrar que $SU(2)$ es una cubierta doble de $SO(3)$ . No se utiliza la diagonalización en ninguna parte, cf. las preguntas del OP.

Answer 4

Dada una función de onda $\psi = \psi(\vec{r})$ en función de un vector de posición $\vec{r} = (x,y,z)$ en el espacio, las rotaciones del vector de posición dependen en última instancia de sólo dos parámetros $\phi$ y $\theta$ como se puede ver al expresar $$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$$ en coordenadas polares esféricas $$\vec{r} = r \sin(\theta) \cos(\phi) \hat{i} + r \sin(\theta) \sin(\phi)\hat{j} + r \cos(\theta)\hat{k}.$$ ¿Cómo representar las rotaciones de un vector tridimensional en un espacio bidimensional? Pues bien, utilizando $$\mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{C}$$ podríamos considerar vectores de la forma $$(x,y,z) \mapsto (z,x+iy).$$ En este nuevo espacio, ¿podemos construir matrices de rotación y reflexión? Utilizando la forma de estas matrices expresado aquí y utilizando vectores ortonormales para formar las columnas de una matriz de rotación, tomamos el vector unitario que especifica $\vec{r}$ : $$\vec{n}_{\vec{r}} = (n_x,n_y,n_z) \mapsto (n_z,n_x + i n_y)$$ y utilizar vectores como este para construir nuestra rotación $$\begin{bmatrix}n_z & - (n_x + i n_y)^* \\ n_x + i n_y & n_z \end{bmatrix}$$ y la reflexión $$\begin{bmatrix}n_z & n_x - i n_y \\ n_x + i n_y & - n_z \end{bmatrix}$$ matrices en este nuevo espacio. Como es habitual cuando pasamos de un elemento del grupo de Lie $e^{T}$ al álgebra de Lie $e^{T} = I + T$ queremos ponerlo en la forma $e^{iT'} = I + iT'$ para que $e^{T} = e^{-i(iT)} = e^{-iT'} = I - iT'$ por lo que, dadas las matrices anteriores, añadimos $1 = - i i$ a esto, de modo que nuestra matriz de reflexión se convierte en $$i \begin{bmatrix}- i n_z & - n_y - in_x \\ n_y - in_x & i n_z \end{bmatrix}$$ dando la $$\begin{bmatrix}- i n_z & - n_y - in_x \\ n_y - in_x & i n_z \end{bmatrix}$$ en su puesto. Ahora, $(n_x,n_y,n_z)$ es un vector unitario, si elegimos $$(n_x,n_y,n_z) = \hat{i} = (1,0,0)$$ obtenemos, antes de añadir $1 = -ii$ : $$ (n_x,n_y,n_z) = \hat{i} = (1,0,0) \mapsto \sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ de forma similar $$ (0,1,0) = \hat{j} \mapsto \sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{bmatrix}$$ y de forma similar para $\sigma_z$ De esto se obtiene fácilmente $- i \sigma_x, - i \sigma_y, - i \sigma_z$ . El $\frac{1}{2}$ La normalización proviene de la elaboración de las relaciones de conmutación (creo), compruébalo tú mismo. Fíjate que he utilizado vectores columna ortonormales, pero no era necesario.

Así, si $\vec{r} = (x,y,z)$ está representado por $X = \begin{bmatrix}- i z & y - ix \\ y - ix & i z \end{bmatrix}$ podemos representar una rotación en $\vec{r}$ por otra matriz $A$ en este espacio actuando sobre $X$ por $$X' = AXA^+$$ y sabemos que esto representa una rotación porque $$\det(X') = \det(AXA^+) = \det(X)$$ preserva la longitud del vector $\vec{r}$ que es el determinante de esta matriz.

Así que ahora mismo contestamos 4. en su lista, e ilustró la idea de 6. que puede leer en su totalidad aquí vamos por 5..:

El mapeo de la doble tapa 2-1 proviene de lo siguiente: Obsérvese la representación en coordenadas esféricas $$\vec{r} = r \sin(\theta) \cos(\phi) \hat{i} + r \sin(\theta) \sin(\phi)\hat{j} + r \cos(\theta)\hat{k}$$ asume una orientación cuando giramos. En otras palabras, una matriz de rotación está especificada por dos vectores base ortonormales, y éstos están orientados de una manera determinada (piensa en la regla de la mano derecha), pero no hay ninguna razón por la que no podríamos haber partido de la orientación opuesta. Este vector es el efecto de un elemento de $SO(3)$ en un vector de posición, pero mi construcción de un espacio bidimensional para representar rotaciones tridimensionales permite que ambas orientaciones vivan en este espacio, por lo que si $$X' = AXA^+$$ es el efecto de una rotación con la orientación anterior, podemos decir $$X' = (-A)X(-A)^+$$ es el efecto de una rotación con la orientación opuesta, pero $$X' = (-A)X(-A)^+ = AXA^+$$ así que tienes dos rotaciones asignadas al mismo elemento, ¡doble tapa!

Gran parte de esto se resume aquí y en este libro .