Es bien conocido que un espacio métrico compacto iff es totalmente acotado y completa. En general, es bien conocido que un espacio uniforme es compacto iff es totalmente acotado y completa. Hay una similar caracterización de compacidad para casi uniforme de los espacios?
Respuesta
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Esta respuesta es preliminar. Ahora estoy en la búsqueda de los documentos y de que pronto voy a ampliar la respuesta.
Estoy relacionados con las asignaturas, pero yo no soy un especialista. Me miró a los papeles y se puede decir que el siguiente. Si usted está interesado y desea tener una respuesta perfecta, usted puede pedir Hans-Peter Künzi (uso de este e-mail: Hans-peter.Kunzi (a) uct.ac.za).
Así que, en mi humilde opinión, parece que el siguiente.
Un cuasi-la homogeneidad de un conjunto $X$ es un filtro de $\mathcal U$ $X\times X$ la satisfacción de las condiciones: Cada una de las $U\in\mathcal U$ es el reflexivo, y para cada una de las $U\in\mathcal U$ hay $V\in\mathcal U$ tal que $V^2:=V\circ V\subset U$. Aquí $$V\circ V :=\{(x, z)\in X\times X:\mbox{ there is }y\in X\mbox{ such that }(x, y)\in V\mbox{ and }(y, z)\in V\}.$$ For each quasi-uniformity $\mathcal U$ the filter $\mathcal U^{-1}$ consisting of the inverse relations $$U^{-1}=\{(y, x)\in X\times X: (x, y)\in U\}$$ where $U\in\mathcal U$ is called the conjugate quasi-uniformity of $\mathcal U$. A quasi-uniformity $\mathcal U$ is said to be a uniformity if $\mathcal U^{-1}=\mathcal U.$ If $\mathcal U_1$ and $\mathcal U_2$ are quasi-uniformities on $X$ such that $\mathcal U_1\subconjunto \mathcal U_2$, then $\mathcal U_1$ is called coarser than $\mathcal U_2$. The coarsest uniformity $\mathcal U^s$ finer than $\mathcal U$ is generated by the subbase $\mathcal U\cup\mathcal U^{-1}$. [Kü1]
Un cuasi-uniforme de espacio $(X,\mathcal U)$ se llama precompact (resp. totalmente acotado) si para cada una de las $U\in\mathcal U$, una cubierta $\{U(x): x\in X\}$ tiene un número finito de subcover (resp. $\mathcal U^s$ es precompact). Un espacio uniforme es totalmente acotado iff es precompact. Cada totalmente delimitada cuasi-uniforme el espacio es precompact pero a la inversa no tiene, en general. [Lam] Un cuasi-uniforme de espacio $(X,\mathcal U)$ es totalmente acotado iff es doblemente hereditariamente precompact, que es $\mathcal U$ $\mathcal U^{-1}$ son hereditariamente precompact. [Kü1] Cada compacto cuasi-uniforme el espacio es precompact, pero el recíproco no se sostiene, en general, también. Como un simple ejemplo que puedo proponer Sorgenfrey círculo que es el círculo unitario $\Bbb T=\{e^{i\varphi}:\varphi\in\Bbb R\}$ dotado de un cuasi-uniformidad generado por una base $\{U_n\}$ donde $U_n=\{(x,y)\in\Bbb T: y=xe^{i\varphi}$ $\varphi\in [0,1/n)\}.$ Sorgenfrey círculo es un precompact cuasi-uniforme en el espacio, que no es ni compacto ni totalmente acotado. Por otro lado, un cuasi-uniforme el espacio es precompact si y sólo si cada ultrafilter es un filtro de Cauchy [FL]. Por último, existe un compacto cuasi-uniforme de espacio que no está totalmente delimitada: vamos a $a<b$ ser números reales; dotar al conjunto de los reales con un cuasi-uniformidad generado por una base $\{\{(x, y):x = y$ o $a < x < b\}\}$ [Lam]. Desde el otro lado, para cualquier espacio topológico $X$ el Pervin cuasi-la uniformidad es la mejor compatible totalmente delimitada cuasi-uniformidad de $X$. Recuerdo que cada espacio topológico $(X; \tau)$ es cuasi-uniformizable, ya $\tau$ coincide con la topología inducida por la Pervin cuasi-uniformidad generados por la subbase $\{[X\setminus G\times X]\cup [X \times G] : G\in\tau\}$. [Kü1]
Hay varios conceptos de integridad de cuasi-uniforme de espacios [Kü1-2].
Un cuasi-uniforme de espacio $(X, \mathcal U)$ se llama bicomplete siempre que $\mathcal U^s$ es una completa uniformidad. Así, un cuasi-uniforme de espacio $(X, \mathcal U)$ es totalmente acotado y bicomplete iff $(X, \mathcal U^s)$ es una completa precompact espacio uniforme iff $(X, \mathcal U^s)$ es compacto. En este caso, el espacio de $(X, \mathcal U)$ es compacto. Sorgenfrey círculo es bicomplete y precompact, pero no es ni compacto ni totalmente acotado.
Un espacio topológico es supersober si el conjunto de convergencia de cada convergente ultrafilter es el cierre de algunas de ellas únicas de singleton. En particular, cada espacio de Hausdorff es supersober. La clase de localmente compacto fuertemente sobrio espacios (a veces también llamado sesgo compacto; ver Kopperman [Ko, Comentario 4.12]), es un análogo en la categoría de $Top_0$ $T_0$-espacios para la clase de espacios compactos en la categoría de espacios de Hausdorff. Aquí "fuertemente sobrio" significa "compact y supersober". La fuerte sobrio localmente compacto espacios (ver también los artículos de Hötzel Escardó [ÉL], Lawson [de la Ley], Salbany y Todorov [ST] y Smyth [Sm] para más detalles) puede ser caracterizado como la topológico $T_0$-espacios que admiten un totalmente delimitada bicomplete cuasi-uniformidad. Es el más áspero compatible cuasi-la homogeneidad de dichos espacios. [Kü2]
Un filtro de $\mathcal F$ en un cuasi-uniforme de espacio $(X, \mathcal U)$ se dice ser de izquierda $K$-Cauchy (resp. derecho $K$-Cauchy) si para cada una de las $U\in \mathcal U$ hay $F\in \mathcal F$ tal que $U(x)\in \mathcal F$ (resp. $U^{-1}(x)\in \mathcal F$) siempre que $x\in F$. Un cuasi-uniformidad se llama la izquierda (resp. derecho) $K$-completa siempre que cada uno de izquierda (resp. derecho) $K$-filtro de Cauchy converge. Un cuasi-uniforme el espacio es compacto iff es precompact y a la izquierda $K$-completo [Kü3]. Un cuasi-uniforme de espacio $(X, \mathcal U)$ es hereditariamente precompact si y sólo si cada uno de ultrafilter está a la izquierda $K$-Cauchy (equivalentemente, cada filtro es co-estable). Aquí un filtro que se llama co-estable si es estable en el conjugado espacio. Un filtro de $\mathcal F$ en un cuasi-uniforme de espacio $(X, \mathcal U)$ se llama estable si $\bigcap_{F\in\mathcal F} U(F)\in\mathcal F$ siempre $U\in\mathcal U$. [Kü1]
Referencias
[FL] P. Fletcher, W. F. Lindgren, Cuasi-Uniforme de Espacios, Notas de la Conferencia Pure Appl. De matemáticas. Vol. 77, Dekker, Nueva York, 1982.
[ÉL] M. Hötzel Escardó , La regular localmente compacto núcleo de una forma estable localmente compacto regional, J. Pure Appl. Álgebra, 157, 41-55.
[KMRV] H-P. A. Künzi, M. Mršević, I. L. Reilly, M. K. Vamanamurthy, Convergencia, precompactness y la simetría cuasi-uniforme de espacios, Mathematica Japonica, 01/1993, 38:2.
[Ko] R. D. Kopperman, la Asimetría y la dualidad en la topología, la Topología Appl., 66, 1-39.
[Kü1] H-P. A. Künzi, Cuasi-uniforme de los espacios, (28 de abril de 2001).
[Kü2] H-P. A. Künzi, Cuasi-uniforme de espacios en el año 2001, (? en los Recientes Progresos en la Topología General, II, 313-344, North-Holland, Amsterdam, 2002).
[Kü3] H-P. A. Künzi, Nonsymmetric topología, la Topología con Aplicaciones, Bolyai Soc. De matemáticas. Estudios, Vol. 4, Szekszárd, 1993, 303-338.
[Kü4] H-P. A. Künzi, Totalmente delimitada tranquilo cuasi-uniformidad, la Topología de los Procedimientos, 01/1990, 15.
[Lam] P. Th. Lambrinos, En precompact (cuasi-) uniforme de estructuras, Proc. Amer. De matemáticas. Soc., 62:2, 1977, 365-366.
[La ley] J. D. Lawson, Orden y fuertemente sobrio compactifications, en: la Topología y de la Categoría de la Teoría en Ciencias de la computación, Reed, G. M., A. W. Roscoe y R. F. Wachter, eds., Clarendon Press, Oxford, 179-205.
[Sm] M. B. Smyth, Estable compactification I, J. Londres Matemáticas. Soc., 45, 321-340.
[ST] S. Salbany, T. Todorov. No estándar de análisis de la topología: estándar y estándar compactifications, Diario Símbolo. La lógica, 65, 1836-1840.
