Bebé Rudin Problema 2.17: Homeomorphism a un Conjunto de Cantor?

Question

Problema 2.17 nos invita a considerar algunas propiedades de los números en $[0,1]$ base $10$ con decimales expansiones que consta sólo de $4$$7$. Vamos a llamar a el conjunto de todos estos números de $E$.

La pregunta nos pide algo diferente, pero es este conjunto homeomórficos para el conjunto de Cantor? En particular, si escribimos cada elemento en el conjunto de Cantor en base $3$, y enviar a $0$s a $4$s y $2$s a $7$s, obtendremos una homeomorphism con $E$?

Además, lo que sobre el conjunto de la base-$10$ números con decimales expansiones que consta sólo de $3$ o más dígitos, por ejemplo? Estos se homeomórficos para el conjunto de Cantor, o algo más?

Answer 1

Cada espacio métrico compacto, totalmente desconectada (el único no-vacío conectado subconjuntos son los únicos), y no tiene puntos aislados es homeomórficos para el conjunto de Cantor. Este es un clásico debido a Brouwer.

Su conjunto cumple con estos criterios: es un subconjunto cerrado de $[0,1]$ (tan compacto métrica), no contiene no trivial intervalos (que implica totalmente desconectado) y cada vecindad de un punto en el que contiene (muchos) otros puntos del conjunto (así que no hay puntos aislados).

El homeomorphism se sugirió también funciona.

Otras aplicaciones: el conjunto de Cantor $C$ es homeomórficos a $\{0,1\}^\mathbb{N}$, homeomórficos a cualquiera de sus finito o contable, poderes, etc. etc.

Además, la última pregunta se responde así: los mismos argumentos se aplican y también obtenemos un conjunto de Cantor, si nos restringimos a 2 o 3 dígitos (hasta 9 creo que va a funcionar). Es bastante ubicuo.