probabilidad de que no hay dos arañas termina en el mismo vértice?

Question

Ocho arañas se encuentran en los ocho vértices de un cubo.

Cuando suena un timbre, cada araña se mueve (al azar, independiente de los demás) a un lado de vértice.

¿Cuál es la probabilidad de que no hay dos arañas termina en el mismo vértice?

¿Cómo puedo empezar este problema?

Answer 1

La clave de este problema es el de aprovechar la simetría tanto como sea posible para reducir el trabajo de casos.

La etiqueta de los vértices de la cara superior en CCW orden de $A,B,C,D$ y los vértices de la cara inferior en CCW orden de $E,F,G,H$ donde $AE$, $BF$, $CG$, $DH$ son los bordes de la conexión de la parte superior e inferior de las caras.

Los cuatro arañas en los vértices $A,C,F,H$ va a terminar en uno de los vértices $B,D,E,G$ (ya que no hay bordes entre los vértices $A,C,F,H$). Del mismo modo, los cuatro arañas en los vértices $B,D,E,G$ va a terminar en uno de los vértices $A,C,F,H$. Por lo tanto, no hay dos arañas termina en el mismo vértice iff no hay dos de las arañas en $A,C,F,H$ termina en el mismo vértice y no hay dos de las arañas en $B,D,E,G$ termina en el mismo vértice.

Hay $3^4$ formas para que los cuatro arañas en los vértices $A,C,F,H$ a mover. Contamos con las maneras en que se puede mover a $4$ diferentes vértices de la siguiente manera:

Caso I: La araña en $A$ mueve a $B$.

La araña en $C$ sólo pueden mover a $D$ o $G$ (desde $CE$ no es una ventaja). Si la araña en $C$ mueve a $D$, entonces hay dos maneras por las arañas en $F,H$ mover: $(A,C,F,H) \to (B,D,E,G)$ o $(A,C,F,H) \to (B,D,G,E)$. Si la araña en $C$ mueve a $G$, entonces sólo hay una manera para que las arañas en $F,H$ mover: $(A,C,F,H) \to (B,G,E,D)$ (debido a $BH$ $DF$ no de los bordes). Esto le da a $3$ formas para las arañas en $A,C,F,H$ a mover a distintos vértices si la araña en $A$ mueve a $B$.

Caso II: La araña en $A$ mueve a $D$.

Del mismo modo para el Caso de que yo, hay $3$ total de maneras para que las arañas en $A,C,F,H$ a mover a distintos vértices si la araña en $A$ mueve a $D$.

Caso III: La araña en $A$ mueve a $E$.

Del mismo modo para el Caso de que yo, hay $3$ total de maneras para que las arañas en $A,C,F,H$ a mover a distintos vértices si la araña en $A$ mueve a $E$.

Esto nos da $9$ formas para las arañas en $A,C,F,H$ para terminar en lugares distintos. Por lo tanto, la probabilidad de que no hay dos de estas arañas termina en el mismo vértice es $\dfrac{9}{81} = \dfrac{1}{9}$.

Del mismo modo, la probabilidad de que dos de las arañas en los vértices $B,D,E,G$ termina en el mismo vértice es $\dfrac{1}{9}$. Así, la probabilidad de que no hay dos arañas termina en el mismo vértice es $\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{81}$.