Hay soluciones a $\Delta^2 f = -f$, pero, lamentablemente, carecen de algunas de las propiedades interesantes de su continua contrapartes: que no son periódicos.
Afortunadamente, existe una manera de construir periódico análogos de $\sin$$\cos$, y ambas soluciones (periódicos y nonperiodic) tiene una conexión con una pregunta mucho más profunda: si el discreto homólogos de los números reales ordinarios enteros, que son los discretos homólogos de los números complejos?
Resulta que hay dos "natural" de los candidatos: los enteros de Gauss $a+bi$ y la de Eisenstein enteros $a+b\omega$ donde $a,b\in\mathbb{Z}$ $\omega = \frac{\sqrt{3}i-1}{2}$ es un tercio de la raíz de la unidad. Estos son especiales por que son las únicas opciones que generan un periódicas de celosía en el plano complejo.
En analogía con la discreta real exponencial, que es $(1+1)^x = 2^x$, se puede definir para cada uno de estos complejos enteros de una versión discreta de la exponencial imaginaria $e^{ix}$:
De estos, sólo el de Eisenstein exponencial imaginaria resulta ser periódico, la razón de ser de que $|1+\omega| = |e^{\pi i/3}|=1$ (esto tiene una interpretación geométrica: se puede construir un hexágono regular de lado a $L$ inscrito en un círculo de radio de $L$, mientras que usted no puede hacer eso con un cuadrado). A partir de estos se puede definir el correspondiente senos y cosenos con una discreta fórmula de Euler:
$$(1+i)^x = \cos_G (x) + i \sin_G (x)$$
$$(1+\omega)^x = \cos_E (x) + \omega \sin_E (x)$$
Gracias a la periodicidad de las Eisenstein exponencial, incluso tiene un análogo de Euler de la identidad y de una discreta versión de $\pi$:
$$(1+\omega)^3 + 1 = 0$$
donde el discretos $\pi$$3$. En el caso Gaussiano las soluciones tienen una especie de "semiperiod" igual a $4$, pero no es tan satisfactorio.
En el nivel de la diferencia de las ecuaciones, para obtener el periódico de las funciones trigonométricas uno tiene que sustituir a $\Delta^2$ por la central de diferencia $\nabla \Delta$ (donde $\nabla f(n) = f(n)-f(n-1)$).
