Me topé con esta relación, mientras que yo estaba jugando. ¿Cuál es la prueba, y cómo he de entender intuitivamente? Eso realmente no tiene sentido para mí que la suma de los números impares hasta el $2x + 1$ debe ser igual a $x^2$.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Directa prueba que $1 + 3 + 5 + \cdots+ (2n - 1) = $ n n\cdot (4 respuestas )
Respuestas
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ccorn
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4924
Michael Tsang
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166
Recordar que:
$$\sum_{k=0}^{x}k = \frac{x(x+1)}{2}$$
Entonces
$$\sum_{k=0}^x(2k + 1) = 2\sum_{k=0}^x k + \sum_{k=0}^x1 = x(x+1) + (x+1) = x^2 + 2x + 1 \neq x^2$$
En su lugar, ya que $x^2 + 2x + 1= (x+1)^2$, luego
$$\sum_{k=0}^x(2k + 1) = (x+1)^2$$
El uso de $x-1$ en lugar de $x$, entonces usted tiene:
$$\sum_{k=0}^{x-1}(2k + 1) = x^2$$
user608676
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Podemos demostrar esto a través de la inducción.
Caso Base ($x = 1$): $$1^2 = \sum_{k=0}^{1-1} (2k+1) = \sum_{k=0}^0 (2k+1) = 2\cdot 0+1 = 1$$
Inductivo paso: Supongamos que es cierto para algunos $x$. Ahora, se nota que $$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$
y que
$$\sum_{k=0}^{x+1-1} (2k+1) = \sum_{k=0}^{x-1} (2k+1) + 2x+1$$
Gepard
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Aviso : $$\begin{align}(x + 1)^2 - x^2 &= x^2 + 2x + 1 - x^2 \\&= 2x + 1\end{align}$$
Tomamos una suma en ambos lados y ver que un montón de cancelación se produce en el lado izquierdo:
$$\sum_{k = 0}^{x-1}\left((x+1)^2 - x^2\right) = \sum_{k = 0}^{x-1}(2x+1)\\ (x -1 + 1)^2 - 0^2 = \sum_{k = 0}^{x-1}(2x+1\\ x^2 = \sum_{k = 0}^{x-1}(2x+1)$$
