Producto Tensor de vector de paquetes

Question

Así que tengo un problema que me he encontrado y no sé qué objeto estoy mirando. Así que hay dos colectores $M_1$ $M_2$ y un suave mapa de $f:M_1\rightarrow M_2$. Sabemos que no es un vector paquete de $\pi_2:E_2\rightarrow M_2$, y también tenemos un pullback vector paquete de $\pi_1:f^\ast E_2\rightarrow M_1$. Quiero saber ¿qué es exactamente el vector paquete con espacio total $T^\ast M_1\otimes f^\ast(E_2)$. Se supone que voy a encontrar una suave sección en este vector paquete, pero no tengo idea de lo que el vector paquete es. Es el mapa de $T^\ast E_1\otimes f^\ast(E_2)\rightarrow M_1\otimes M_1$, esta construcción no tiene sentido para mí, así que pensé que podría ser $T^\ast M_1\otimes f^\ast(E_2)\rightarrow T^\ast M_1$. Alguna idea sobre lo que debería ser?

Para hacer referencia a este es el problema que me estoy mirando. Es la parte (c)

Answer 1

Dados dos vectores haces $V_1$, $V_2$ más de $M$, podemos formar su producto tensor bundle $V_1\otimes V_2$ que es un vector paquete de más de $M$. La fibra del producto tensor paquete es el producto tensor de las fibras de la original de dos paquetes. Para más detalles sobre la construcción del tensor de la agrupación de productos, consulte la página $13$ de Hatcher Vector Haces y la K-Teoría.

En su pregunta, $T^*M_1$ $f^*E_2$ son vectores paquetes de más de $M_1$, lo $T^*M_1\otimes f^*E_2$ es un vector paquete de más de $M_1$.

Answer 2

Tensor de productos de espacios vectoriales se extiende por el producto tensor de vector de paquetes. Así, usted puede buscar: $$T^{\ast}M_1\otimes f^{\ast}(E_1)$$ como $$L(TM_1,f^{\ast}(E_1))$$, where $L$ significa que el espacio de morfismos entre estos dos grupos. O incluso, se puede mirar como el espacio de funciones de la forma: $$TM_1\times E_2 \to \mathbb{R} $$ Creo que de la forma en que estos vectores paquetes están construidos. Por ejemplo, pensemos en qué proyección sería. Tenga en cuenta que cualquier fibra es de la forma: $(T_p^{\ast}M_1, f^{\ast}{E_1}_p)$ , entonces, lo que usted sugiere para la base del colector? Yo sugeriría $M_1\times M_1$.