De fondo
Actualmente estoy buscando en la tarea de describir una temperatura transitoria campo $\theta(r,t)$ a través del espesor de la $a \leq r \leq b$ de un ser infinitamente larga y cilindro hueco expuestos a una sinusoidal de temperatura de la señal aplicada en el límite interior $g(t)=\theta_0 \sin(2\pi \cdot f \cdot t)$.
La siguiente térmica de las condiciones de contorno a aplicar
$\theta(a,t)=g(t)$ $\quad$ para $t\ge0$, $\quad$ (1)
$\theta(b,t)=0$ $\quad$ para $t\ge0$, $\quad$ (2)
$\theta(r,0)=0$. $\quad$ (3)
El punto de partida de la derivación es la ecuación de difusión de calor ($\alpha^*$ es la difusividad térmica) en coordenadas cilíndricas
$\frac{\partial^2\theta}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial\theta}{\partial r} = \frac{1}{\alpha^*}\frac{\partial\theta}{\partial t}$. $\quad$ (4)
La derivación de la expresión final (el que se aplica el Hankel transformar seguido por la inversa de la transformación) para la distribución de la temperatura se puede encontrar en varios artículos, por ejemplo [Shahani A. R. y Nabavi S. M. (2007) Aplicado modelos Matemáticos, Vol 31, p 1807-1818]. La expresión final lee
$\theta(r,t)=-\alpha^*\pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\lambda^2_n J^2_0(\lambda_n b)}{J^2_0(\lambda_n a)-J^2_0(\lambda b)} \left[ Y_0(\lambda_n a)J_0(\lambda_n r) - J_0(\lambda_n a)Y_0(\lambda_n r) \right]\left[ e^{-\alpha^*\lambda_n^2 t} \int_0^t e^{\alpha^*\lambda_n^2\tau} g(\tau) d\tau \right]$ $\quad$ (5)
donde $\lambda_n$ son las raíces positivas de la ecuación trascendental
$Y_0(\lambda_n a)J_0(\lambda_n b) - J_0(\lambda_n a)Y_0(\lambda_n b) = 0$ $\quad$ (6)
y $J_0(z)$ $Y_0(z)$ son funciones de Bessel de orden $0$ de la primera y de segunda clase, respectivamente.
Resultado
Me las he arreglado para implementar el código necesario (según tengo entendido) en Matlab. La literatura establece que el 100 raíces es suficiente. Cuando me parcela en el campo de temperatura versus el espesor puedo obtener una extraña distribución de la temperatura para los casos de $g(t)=0$, como se muestra en la figura a continuación (el azul y el verde de las curvas son correctos, mientras que el negro y el rojo curvas no son).
Mi aplicación no parecen cumplir la condición de frontera (1), que también está indicado por las oscilaciones durante el resto de la correspondiente (negro y rojo) de las curvas. Mis habilidades matemáticas son por desgracia bastante limitado y no me parece para ser capaz de ver cómo el final de la expresión (5) cumple con la condición de frontera (1).
Pregunta
Puede ser demostrado que $Y_0(\lambda_n a)J_0(\lambda_n a) - J_0(\lambda_n a)Y_0(\lambda_n a) \ne 0$? Es aquí donde mi aplicación va mal o es mi error tal vez en otra parte?
